7 Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán Lớp 8 (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: 7 Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán Lớp 8 (Có hướng dẫn chấm)

1. ĐỀ SỐ 1 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán 8 (Đề thi gồm: 01 trang) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (4,0 điểm): Phân tích đa thức thành nhân tử: a. x2 + 7x +12 b. x4 + 2023x2 + 2022x + 2023 Câu 2: (4,0 điểm): a. Chứng minh rằng nếu: x2 + y2 + z2 = xy + xz + yz thì x = y = z b. Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) x + 2 x + 4 x + 6 x +8 + 2022 cho đa thức x2 +10x + 21. Câu 3: (4,0 điểm): a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2x2 + 3x - 4 b. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 2xy + 3x -5y = 9 Câu 4: (7,0 điểm): Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt đường thẳng BC tại P và R, cắt đường thẳng CD tại Q và S. a. Chứng minh AQR và APS là các tam giác cân. b. QR cắt PS tại H; M, N lần lượt là trung điểm của QR và PS. Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật. c. Chứng minh P là trực tâm SQR. d. Chứng minh MN là đường trung trực của AC. e. Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng. Câu 5: (1,0 điểm): Chứng minh: B n3 6n2 11n 6  24 với n là một số tự nhiên lẻ. Hết - Thí sinh không được sử dụng tài liệu. - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . Số báo danh: Cán bộ coi thi số 1: Cán bộ coi thi số 2:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Môn: Toán 8 Câu Nội dung Điểm a) x2 7x 12 x2 3x 4x 12 (x2 3x) (4x 12) 1,0 1,0 Câu 1 x(x 3) 4(x 3) (x 3)(x 4) 4 2 4 2 0,5 (4,0 b) x + 2023x + 2022x + 2023 = x x + 2023x 2023x 2023 3 2 2 2 1,0 điểm) x(x 1) 2023(x + x +1) x(x 1)(x x 1) 2023(x x 1) (x2 x 1)(x2 x 2023) 0,5 a) Ta có: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2x2 + 2y2 + 2z2 = 2xy + 2yz + 2zx x2 – 2xy + y2 + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2zx + x2 = 0 1,0 (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = 0 (1) Ta có : (x – y)2 0, (y – z)2 0 , (z – x)2 0 x y 0 Câu 2 Do đó: (1) y z 0 . 1,0 (4,0 điểm) z x 0 b) P(x) x 2 x 4 x 6 x 8 2022 x2 10x 16 x2 10x 24 2022 Đặt t x2 10x 21 (t 3; t 7) , biểu thức P(x) được viết lại: 1,0 P(x) t 5 t 3 2022 t 2 2t 2007 Do đó khi chia t 2 2t 2007 cho t ta có số dư là 2007 1,0 2 2 3 9 9 a) Ta có: A = 2x + 3x - 4 = 2 x 2.x. 4 4 16 8 2 1,0 3 41 41 3 3 = 2 x + Dấu “=” xảy ra khi x 0 x 4 8 8 4 4 41 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là đạt được khi x 1,0 8 4 b) 2xy + 3x -5y = 9 Câu 3 4xy + 6x -10y = 18 2x(2y + 3) -5(2y + 3) = 3 0,5 (4,0 điểm) (2y + 3)(2x -5) = 3 do x, y là các số nguyên nên ta có bảng sau: 0,5 2x - 5 -3 -1 1 3 2y + 3 -1 -3 3 1 x 1 2 3 4 y -2 -3 0 -1 1,0 Vậy các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn là: (1;-2), (2;-3), (3;0), (4;-1)
3. Vẽ đúng hình, cân đối đẹp. 0,5 a) ADQ ABR (cgv-gn) vì D· AQ B· AR (cùng phụ với B· AQ ) và DA = BA (cạnh hình Câu 4 vuông). Suy ra AQ = AR, nên AQR là tam (7,0 giác vuông cân tại A. Chứng minh tương tự điểm) ta có: ABP = ADS 1,5 do đó AP = AS và APS là tam giác vuông cân tại A. b) AM và AN là đường trung tuyến của tam giác vuông cân AQR và APS nên AN  SP và AM  RQ. Mặt khác: 1,5 P· AN P· AM = 450 nên góc MAN vuông. Vậy tứ giác AMHN có ba góc vuông, nên AMHN là hình chữ nhật. c) Theo giả thiết: QA  RS, RC  SQ nên QA và RC là hai đường cao 1,0 của SQR. Vậy P là trực tâm của SQR. d) Trong tam giác vuông cân AQR thì MA là trung điểm nên AM = 1 QR 2 1,0 MA = MC, nghĩa là M cách đều A và C. Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông SCP, ta có NA = NC, nghĩa là N cách đều A và C. Hay MN là trung trực của AC e) Vì ABCD là hình vuông nên B và D cũng cách đều A và C. Nói cách 1,5 khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúng nằm trên đ- ường trung trực của AC, nghĩa là chúng thẳng hàng. n3 6n2 11n 6 n3 3n2 3n2 9n 2n 6 n2 (n 3) 3n(n 3) 2(n 3) (n 3)(n2 3n 2) 2 (n 3) (n n) (2n 2) (n 3)n(n 1) 2(n 1) Câu 5 (n 3)(n 2)(n 1) 0,5 (1,0 điểm) Do n lẻ nên n-3, n-2, n-1 là 3 số tự nhiên liên tiếp trong đó có hai số chẵn. Trong 2 số chẵn này có một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 4. Nên (n 3)(n 2)(n 1)2.4 8 Mặt khác (n 3)(n 2)(n 1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên 0,5 (n 3)(n 2)(n 1)3 mà (8;3) = 1
4. (n 3)(n 2)(n 1)8.3 24 Vậy, n3 6n2 11n 6  24 với mọi số tự nhiên n lẻ. * Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn tính điểm tối đa.
5. ĐỀ SỐ 2 Bài 1 (3 điểm). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) a4 + 8a3 + 14a2 - 8a -15 b) 4a2b2 - (a2 + b2 - c2)2 Bài 2 (3 điểm). a) Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n+1) b) Chứng minh (a2 + 3a + 1)2 - 1 chia hết cho 24 với a là số tự nhiên. 1 1 1 Bài 3 (3 điểm). Cho 0 a b c b c c a a b Tính giá trị biểu thức M = a b c Bài 4 (4 điểm). Tìm giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị nguyên. 2x 3 6x 2 x 8 A = x 3 Bài 5 (4 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm nằm giữa B và C. Từ M kẻ MD song song AB (D AC), kẻ ME song song AC (E AB) a) Xác định vị trí của M nằm trên BC để DE ngắn nhất. b) Tinh DE ngắn nhất với AB = 4(cm); ABC = 600 Bài 6 (3 điểm). Tìm x biết: x5(3x – 1)m+3 : x5(3x – 1)m-1 – 56 : 52 = 0; 1 (với x ≠ 0; x ≠ ; m N*) 3 HẾT Lưu ý : Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
6. A D E M B C M a) Tứ giác ADME có: AE//DM (AB//DM) ; AD//EM (AC//EM) và A = 900 (gt) tứ giác ADME là hình chữ nhật DE = AM (t/c hình chữ nhật) Mà AM ngắn nhất khi AM  BC tức là AM là đường cao ∆ABC Vậy M là chân đường cao kẻ từ A đến BC của ∆ ABC b) Xét ∆ ABM vuông tại M có ABM = 600 ∆ ABM là nữa tam giác đều có cạnh AB AB 4 BM = = 2(cm) 2 2 AM2 = AB2 – BM2 = 42 – 22 = 12 (pi-ta-go) AM = 12 cm Vậy AM ngắn nhất bằng 12 cm DE ngắn nhất bằng 12 cm Câu 6 (3 điểm): Ta có: x5(3x – 1)m+3 : x5(3x – 1)m-1 – 56 : 52 = 0 ( với x ≠ 0 ; x ≠ 1 ) 3 (3x – 1)m+3 – (m-1) – 56 – 2 = 0 (3x – 1)4 = 54 3x – 1 = 5 hoặc 3x – 1 = –5 x = 2 x = 4 3 Vậy x = 2 ; x = 4 3 HẾT Lưu ý: Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được điểm tối đa.
7. ĐỀ SỐ 3 Câu 1 (4 điểm). Chứng minh rằng biểu thức sau đây không phụ thuộc vào biến x 4(6 - x) + x2 (2 + 3x) - x(5x - 4) + 3x2 (1 - x) Câu 2 (4 điểm). Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử a. x2y + xy2 - x - y b. x2 + 5x - 50 Câu 3 (3 điểm). Cho phân thức A = a. Tìm điều kiện của x để A xác định b. Rút gọn A c. Tìm x đề giá trị của A bằng 1 Câu 4 (4 điểm). Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Trên tia đối của tia CB lấy điểm G sao cho CG = CA. Kẽ BH vuông góc với AD, CK vuông góc với AG. Chứng minh rằng: a. AH = HD b. HK //BC Câu 5 (3 điểm): Cho tam giác đều ABC. M là điểm thuộc cạnh BC. I và D lần lượt là trung điểm của AM và BC; E, F là chân đường vuông góc kẽ từ M đến AB và AC. a. Tính số đo các góc DIˆE và DIˆF . b. Chứng minh tứ giác DEIF là hình thoi. Câu 6 (2 điểm). Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi . HẾT Lưu ý : Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
8. HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT HSG LỚP 8 Câu Nội dung Điểm 4(6 - x) + x2(2 + 3x) - x(5x - 4) + 3x2 (1 - x) Câu 1 = 24 - 4x + 2x2 + 3x3 – 5x2 + 4x + 3x2 – 3x3 2đ (4đ) = 24 2đ a. x2y + xy2 - x - y = (x2y + xy2) – (x + y) = xy(x + y ) – ( x + y ) 1đ Câu 2 = (xy – 1)( x + y) 1đ (4đ) b. x2 + 5x - 50 = x2 + 10x – 5x – 50 1đ = (x2 + 10x) - (5x +50) = x(x + 10) – 5(x + 10) 0.5đ = (x – 5)(x + 10) 0.5đ A = a. Để A xác định khi x2 – 3x + 2 0 x 1 và x 2 x 1 1 1đ Câu 3 b. A = = (3đ) (x 1)(x 2) x 2 1 1đ c. để A = 1 1 x 2 1 x 3 x 2 1đ a. ABD cân B, BH là đường cao nên AH = HD 2đ b. tương tự câu a ta có AK = KG 1đ HK là đường trung bình của ADG nên HK //DG. Vậy HK // BC 1đ A Câu 4 (4đ) H K D B C G a. Tam giác AEM vuông tại E , EI là đường trung tuyến nên ta có IE = IA = IM khi đó EIˆM 2EAˆI.(1) 0.5đ Ta lại có tam giác ADM vuông tại D, DI là đường trung tuyến Nên ID = IA = IM , DIˆM 2DAˆI (2) 0.5đ 0 Từ (1) và (2) ta có: EIˆD 2EAˆD 60 0.5đ 0 0 Câu 5 Vậy góc DIE bằng 60 , tương tự góc DIF bằng 60 A 0.5đ b. DIE cân tại I, mà DIˆE 600 nên DIE đều (3đ) 0.5đ tương tự DIF đều từ đó DEIF là hình thoi I 0.5đ E F C D M B Câu 6 Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y, z; trong đó cạnh huyền
9. (2đ) là z (x, y, z là các số nguyên dương ) Ta có xy = 2(x + y + z) (1) và x2 + y2 = z2 (2) 0,5đ 0,25 Từ (2) suy ra z2 = (x + y)2 - 2xy , thay (1) vào ta có : z2 = (x + y)2 - 4(x + y + z) z2 + 4z = (x + y)2 - 4(x + y) z2 + 4z + 4 = (x + y)2 - 4(x + y) + 4 (z + 2)2=(x + y - 2)2 , suy ra z + 2 = x + y - 2 z = x + y - 4 ; 0,5đ thay vào (1) ta được : xy = 2(x + y + x + y - 4) xy - 4x - 4y = -8 (x - 4)(y - 4) = 8 = 1.8 = 2.4 0,5đ 0,25 Từ đó ta tìm được các giá trị của x , y , z là : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,5đ 0,25 HẾT Lưu ý: Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được điểm tối đa.
10. ĐỀ SỐ 4 Bài 1 (3 điểm). Chứng minh rằng: a) 85 + 211 chia hết cho 17 b) 1919 + 6919 chia hết cho 44 Bài 2 (3 điểm). Tìm x biết: 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 . 2009 x 2 2009 x x 2010 x 2010 2 49 x 2 6 1 10 x 2 : x 2 Bài 3 (4 điểm). Cho biểu thức A = 3 x 4x 6 3x x 2 x 2 a) Tìm điều kiện của x để A xác định . b) Rút gọn biểu thức A . c) Tìm giá trị của x để A > O Bài 4 (4 điểm). Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên: 4x 3 3x 2 2x 83 A = x 3 Bài 5 (3 điểm): Cho tam giác ABC, đường cao AH, vẽ phân giác Hx của góc A· HB và phân giác Hy của góc A· HC . Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy. Chứng minh rằng tứ giác ADHE là hình vuông. Bài 6 (3 điểm). Cho góc vuông x· Oy và điểm I nằm trong góc đó. Kẻ IC vuông góc với Ox; ID vuông góc với Oy. Biết IC = ID = a. Đường thẳng kẻ qua I cắt Ox ở A cắt Oy ở B. a) Chứng minh rằng tích AC.DB không đổi khi đường thẳng đi qua I thay đổi. 8a 2 b) Biết diện tích tam giác AOB là SAOB = . Tính CA và DB theo a. 3 HẾT Lưu ý : Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
11. HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT TOÁN LỚP 8 Câu 1 (3 điểm): a) (1,5đ) Ta có: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1) = 211.17 Nên kết quả trên chia hết cho 17. b) (1,5đ) Áp dụng hằng đẳng thức: an + bn = (a + b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - - abn-2 + bn-1) với mọi n lẽ. Ta có: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 + + 6918) = 88(1918 – 1917.69 + + 6918) chia hết cho 44. Câu 2 (3 điểm): 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 . 2009 x 2 2009 x x 2010 x 2010 2 49 ĐKXĐ: x 2009; x 2010. Đặt a = x – 2010 (a 0), ta có hệ thức: 2 a 1 a 1 a a 2 19 a 2 a 1 19 a 1 2 a 1 a a 2 49 3a 2 3a 1 49 49a 2 49a 49 57a 2 57a 19 8a 2 8a 30 0 3 a 2 2 2 2a 1 4 0 2a 3 2a 5 0 (thoả ĐK) 5 a 2 4023 4015 Suy ra x = hoặc x = (thoả ĐK) 2 2 4023 4015 Vậy x = và x = là giá trị cần tìm. 2 2 Câu 3 (4 điểm): a) x # 2 , x # -2 , x # 0 (0,75đ) x 2 1 6 b) A = : (2đ) x 2 4 2 x x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 6 = : x 2 x 2 x 2 6 x 2 1 = . x 2 x 2 6 2 x 1 c) Để A > 0 thì 0 2 x 0 x 2 (1,25đ) 2 x 4 Câu 4 (4 điểm). Biến đổi A = 4x2 + 9x + 29 + (1đ) x 3
12. 4 A Z Z x-3 là ước của 4 (1đ) x 3 x-3 = 1 ; 2 ; 4 (1đ) x = -1; 1; 2; 4 ; 5 ; 7 (1đ) Câu 5 (3 điểm). Hx là phân giác của góc A· HB ; Hy phân giác của góc A· HC mà A· HB và A· HC là hai góc kề bù nên Hx và Hy vuông góc (1đ) Hay D· HE = 900 mặt khác A· DH A· EH = 900 Nên tứ giác ADHE là hình chữ nhật (1) (1đ) ·AHB 900 ·AHD 450 2 2 ·AHC 900 Do ·AHE 450 2 2 ·AHD ·AHE Hay HA là phân giác D· HE (2) Từ (1) và (2) ta có tứ giác ADHE là hình vuông (1đ) Câu 6 (3 điểm): a) (1,5đ) Ta có góc A chung và A· IC = A· BO (cặp góc đồng vị) IAC ~ BAO (g.g) AC IC AC AO Suy ra: (1) AO BO IC BO Tương tự: BID ~ BAO (g.g) OA OB OA ID Suy ra: (2) ID BD OB BD AC ID Từ (1) và(2) Suy ra: IC BD Hay AC. BD = IC . ID = a2 Suy ra: AC.BD = a2 không đổi. b) (1,5đ) Theo công thức tính diện tích tam giác vuông ta có: 1 8a 2 SAOB = OA.OB mà SAOB = (giả thiết) 2 3
13. 1 8a 2 16a 2 hay OA.OB = OA . OB = 2 3 3 16a 2 16a 2 Suy ra: (a + CA)(a + DB ) = a2 + a(CA + DB) + CA.DB = 3 3 16a 2 10a2 Mà CA . DB = a2 ( theo câu a) a(CA +DB) = - 2a2 = 3 3 10a CA + DB = . 3 CA.DB a 2 Vậy: 10a CA DB 3 a Giải hệ pt CA = và DB = 3a 3 Hoặc CA = 3a và DB = a 3 HẾT Lưu ý: Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được điểm tối đa.
14. ĐỀ SỐ 5 1 1 1 1 Câu 1 (3 điểm). Cho a, b, c thoả mãn a b c a b c Tính giá trị của biểu thức: M = (a19 + b19)(b5 + c5)(c2017 + a2017) Câu 2 (3 điểm). Cho phân thức A = a) Tìm điều kiện của x để A xác định b) Rút gọn A c) Tìm x đề giá trị của A bằng 1 . Câu 3 (3 điểm). Cho P = x2 + x + 1. Tìm x để P có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó. Câu 4 (4 điểm). Tính giá trị của các biểu thức sau: A = – 12 + 22 – 32 + 42 – – 992 + 1002 ab bc ca B = ; Biết a + b + c = 0 a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 Câu 5 (3 điểm): Tổng tuổi của hai anh em hiện nay là 63. Tuổi của người anh hiện nay gấp đôi tuổi của người em lúc người anh bằng tuổi của em hiện nay. Hỏi tuổi hiện nay của mỗi người ? Câu 6 (4 điểm). Cho hình vuông ABCD. Qua A kẽ hai đờng thẳng vuông góc với nhau lần lợt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S. 1) Chứng minh AQR và APS là các tam giác cân. 2) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS. Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật. 3) Chứng minh P là trực tâm SQR. 4) Chứng minh MN là trung trực của AC. HẾT Lưu ý : Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
15. HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT HSG LỚP 8 1 1 1 1 Câu 1 (3 điểm): a b c a b c 1 1 1 1 a b (a b) a b a b c c ab c(a b c) (a + b)c(a + b + c) = –ab(a + b) (a + b)[c(a + b + c) + ab] = 0 (a + b)[c(a + c) + bc + ab] = 0 (a + b)[c(a + c) + b(c + a)] = 0 (a + b)(a + c)(c + b) = 0 a + b = 0 hoặc b + c = 0 hoặc c + a = 0 a = –b hoặc b = –c hoặc c = –a M = 0 Câu 2 (3 điểm). Mỗi câu 1 điểm: A = a. A xác định khi x2 – 3x + 2 0 x 1 và x 2 x 1 1 b. A = = (x 1)(x 2) x 2 1 c. A = 1 1 x 2 1 x 3 x 2 Câu 3 (3 điểm): Cho P = x2 + x + 1. Tìm x để P có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó. Ta có P = x2 + 2x1 + (1 )2 + 3 = (x + 1 )2 + 3 2 2 4 2 4 Do (x + 1 )2 không âm nên nhỏ nhất khi (x + 1 )2 = 0 2 2 Tức là x= -1 thì biểu thức có giá trị nhỏ nhất là 3 2 4 Câu 4 (4 điểm). (Mỗi câu đúng 2 điểm): A = -12 + 22 - 32 + 42 - - 992 + 1002 A = (22 – 12 ) + ( 42 – 32 )+ + (1002 - 992 ) A = 1 + 2 + 3 + 4 + + 99 + 100) A = 50 .101 = 5050 Từ a + b + c = 0 a + b = - c a2 + b2 –c2 = - 2ab Tương tự b2 + c2 – a2 = - 2bc; c2+a2-b2 = -2ac ab bc ca 3 B = 2ab 2bc 2ca 2 Câu 5 (3 điểm). Gọi tuổi của anh hiện nay là x, thì tuổi em hiện nay là 63 – x. Khi tuổi anh bằng tuổi em hiện nay tức là trước đây x – (63 – x) năm ta có tuổi em lúc ấy là: 63 – x – x – (63 – x ) = 126 – 3x Theo bài ra ta có phương trình: x = 2(126 – 3x) => x = 36. Tuổi anh hiện nay là 36, tuổi em hiện nay là 27. Câu 6 (4 điểm):
16. 1) ADQ = ABR vì chúng là hai tam giác vuông (để ý góc có cạnh vuông góc) và DA = BA (cạnh hình vuông). Suy ra AQ = AR, nên AQR là tam giác vuông cân tại A. Chứng minh tợng tự ta có: ABP = ADS do đó AP = AS và APS là tam giác cân tại A. 2) AM và AN là đờng trung tuyến của tam giác vuông cân AQR và APS nên AN  SP và AM  RQ. Mặt khác: PAN PAM = 450 nên góc MAN vuông. Vậy tứ giác AHMN có ba góc vuông, nên nó là hình chữ nhật. 3) Theo giả thiết: QA  RS, RC  SQ nên QA và RC là hai đờng cao của SQR. Vậy P là trực tâm của SQR. 4) Trong tam giác vuông cân AQR thì MA là trung tuyến nên AM = 1 QR. 2 Trong tam giác vuông RCQ thì CM là trung tuyến nên CM = 1 QR. 2 MA = MC, nghĩa là M cách đều A và C. Chứng minh tơng tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông SCP, ta có NA= NC, nghĩa là N cách đều A và C. Hay MN là trung trực của AC HẾT Lưu ý: Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được điểm tối đa.
17. ĐỀ SỐ 6 Câu 1 (2 điểm): Cho P = 1 + x + x2 + x3 + + x2014 + x2015 Chứng minh: (x - 1)P = x2016 - 1 x 1 x 1 x2 4x 1 x 2017 Câu 2 (4 điểm): Cho biểu thức: K 2 . x 1 x 1 x 1 x a. Tìm điều kiện đối với x để biểu thức K xác định. b. Rút gọn biểu thức K. c. Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức K có giá trị nguyên. Câu 3 (3 điểm): Các cạnh góc vuông của tam giác vuông có độ dài là a, b và diện tích bằng S. Tìm các góc của tam giác vuông biết (a + b)2 = 8S. Câu 4 (4 điểm): Cho hình thang vuông ABCD ( A = D = 90 0 ) có AB = 4(cm), CD = 9(cm), BC = 13(cm). Trên cạnh BC lấy M sao cho BM = AB. Đường thẳng vuông góc BC tại M cắt AD tại N. Tính diện tích tam giác BNC. Câu 5 (4 điểm): Cho tam giác ABC với trung tuyến CM. Điểm D thuộc đoạn BM sao cho BD = 2MD. Biết rằng MCD = BCD. Chứng minh rằng ACD = 900. x 2 4 x 1 Câu 6 (3 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = với x 0 x 2 HẾT Lưu ý : Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
18. HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT HSG LỚP 8 Câu 1 (2 điểm): Ta có xP = x + x2 + x3 + + x2015 + x2016 xP - P = x + x2 + x3 + + x2015 + x2016 - (1 + x + x2 + + x2014 + x2015) = x2016 - 1 điều cần CM Câu 2 (4 điểm): a) K có nghĩa khi x 1 và x 0 b) K = A.B (x 1)2 (x 1)2 x2 4x 1 A (x 1)(x 1) x2 1 A 1 x2 1 x 2017 2017 Vậy K = A.B = 1. 1 x x c) Muốn K nguyên thì x ước của 2017. Mà 2017 là số nguyên tố nên chỉ có ước dương là 1 và 2017. Nên x = 1 và x = 2017 Với x = 1 K = 2018 Với x = - 1 K = - 2016 Với x = 2017 K = 2 Với x = -2017 K = 0 Câu 3 (3 điểm): Ta có: S = 1 ab 2 Theo bài ra (a + b)2 = 8S 1 a2 + 2ab + b2 = 8. ab = 4ab 2 a2 - 2ab + b2 = 0 (a - b)2 = 0 a = b tam giác vuông cân các góc nhọn = 450. Câu 4 (4 điểm): BA  NA, BM  NM, AB = BM (gt)
19. NB là phân giác của ANM A B MC = BC - BM = 13 - 4 = 9 = CD Do đó NC là tia phân giác của MND Hai góc ANM và MND kề bù M 0 Nên BNC = 90 BNC vuông tại N và NM  BC (gt) 2 NM = BM.MC = 4.9 = 36 N MN = 6(cm) Do đó: 1 1 2 SNBC = NM.BC = .6.13 = 39(cm ) 2 2 D C H Câu 5 (4 điểm): BCM có MCD = BCD (gt) CB DB do đó: 2 (vì DB = 2DM gt) CM DM C BC = 2CM. Gọi P là điểm đối xứng của C qua M Ta có: PC = 2CM = BC (chứng minh trên) BCP cân tại C có CD là phân giác Nên CD  BP A M D B Mặt khác vì M trung điểm AB (gt) Và M trung điểm của CP BP // AC và BP  CD AC  CD hay ACD = 900 P Câu 6 (3 điểm): (4 x 2 4 x 1) 3 x 2 (2 x 1) 2 A = 3 3 x 2 x 2 1 Dấu “=” xảy ra 2x - 1 = 0 x = 2 Giá trị nhỏ nhất A = -3 khi x = 1 2 HẾT Lưu ý: Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được điểm tối đa.
20. ĐỀ SÓ 7 a b c Câu 1 (4 điểm): Cho 1. b c c a a b a2 b2 c2 Chứng minh rằng: 0 b c c a a b Câu 2 (3 điểm): Cho x, y là các số lớn hơn hoặc bằng 1. 1 1 2 Chứng minh rằng: 1 x2 1 y2 1 xy 2x m x 1 Câu 3 (3 điểm): Tìm m để phương trình 3 có nghiệm dương. x 2 x 2 Câu 4 (4 điểm): Giải phương phương trình sau: 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 x x x x Câu 5 (3 điểm): Trong một cái giỏ đựng một số táo. Đầu tiên người ta lấy ra một nửa số táo và bỏ lại 5 quả, sau đó lấy thêm ra 1 số táo còn lại và lấy thêm ra 4 quả. Cuối cùng 3 trong giỏ còn lại 12 quả. Hỏi trong giỏ lúc đầu có bao nhiêu quả? Câu 6 (3 điểm): Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC). Qua C vẽ đường thẳng cắt cạnh AB tại D. Từ B vẽ đường vuông góc với CD tại I cắt AC tại E. Chứng minh rằng AD = AE. HẾT Lưu ý : Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
21. HƯỚNG DẪN CHẤM THI KHẢO SÁT HSG ___ a b c Câu 1 (4 điểm): Nhân cả 2 vế của: 1 với a + b + c rồi rút gọn đpcm b c c a a b 1 1 2 Câu 2 (3 điểm): 1 x 2 1 y 2 1 x y 1 1 1 1 2 2 0 1 x 1 xy 1 y 1 xy x y x y x y 0 1 x 2 1 xy 1 y 2 1 xy y x 2 xy 1 0 2 1 x 2 1 y 2 1 xy Vì x 1; y 1 => xy 1 => xy 1 0 => BĐT (2) đúng => BĐT (1) đúng (dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = y) 2x m x 1 Câu 3 (3 điểm): Tìm m để phương trình 3 có nghiệm dương. x 2 x 2 Điều kiện: x 2; x 2 2x m x 1 Ta có 3 x 1 m 2m 14 x 2 x 2 a) Nếu m = 1 phương trình có dạng 0 = -12 vô nghiệm. 2m 14 b) Nếu m 1 phương trình trở thành x 1 m 2m 14 2 1 m 2m 14 m 4 Phương trình có nghiệm dương 2 1 m 1 m 7 2m 14 0 1 m m 4 Vậy thoả mãn yêu cầu bài toán khi . 1 m 7 Câu 4 (4 điểm): Giải các phương phương trình (mỗi PT đúng 2 điểm): a)x2 3x 2 x 1 0 (1) + Nếu x 1 : (1) x 1 2 0 x 1 (thỏa mãn điều kiện x 1 ). + Nếu x 1 : (1) x2 4x 3 0 x2 x 3 x 1 0 x 1 x 3 0 x 1; x 3 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại)
22. Vậy: Phương trình (1) có một nghiệm duy nhất là x 1 . 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 b) 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 (2) x x x x Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm: x 0 2 2 1 2 1 2 1 1 2 (2) 8 x 4 x 2 x 2 x x 4 x x x x 2 1 2 1 2 2 8 x 8 x 2 x 4 x 4 16 x x x 0 hay x 8 và với điều kiện.x 0 Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x 8 Câu 5 (3 điểm): Chọn ẩn, lập đúng phương trình qua các bước (2 điểm) Giải phương trình và chọn kết quả là 38 và trả lời đúng (1 điểm) Câu 6 (3 điểm): ∆EBC có AB và CI là 2 đường cao cắt nhau tại B D => là trực tâm ∆ABC => ED ∟BC. DEA = ABC (cặp góc có cạnh tương ứng vuông góc) Mà góc ABC = 450 (GT) do đó góc DEA = 450 I D => ∆ADE vuông cân tại A. => AD = AE E C A HẾT Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.