Bài tập Hình học nâng cao Lớp 8

Nội dung text: Bài tập Hình học nâng cao Lớp 8

1. BÀI TẬP HÌNH HỌC NÂNG CAO LỚP 8 1. Đường trung bình của tam giác, của hình thang. 2. Đường trung tuyến của tam giác vuông. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC đều, đường cao AD, trực tâm H. M là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của M trên AB và AC. Gọi I là trung điểm của AM. ID cắt EF tại K. a) DEIF là hình gì? b) CM: M, K, H thẳng hàng. c) Xác định vị trí của M trên BC để EF đạt GTNN. d) Tìm GTNN của SDEIF biết tam giác ABC có cạnh bằng a. e) Tìm quỹ tích điểm K. Lời giải: A Giả sử M nằm giữa B và D: a) IED có: 1 IEIDAM P 2 I 0 EIDBAD 2.60 F H IED là tam giác đều (1) K Chứng minh tương tự ta được IFD là tam giác đều (2). Từ E (1) và (2) suy ra DEIF là hình thoi. B b) Vì ABC đều nên trực tâm H củng là trọng tâm. Suy ra: M D C AH = 2.HD Gọi P là trung điểm của AH AP = PH = HD. Suy ra IP, KH thứ tự là đường trung bình của các tam giác AMH và DIP MH // IP và KH // IP, suy ra M, K, H thẳng hàng. c) Vì EDK vuông tại K nên ta có: EF = 2.EK = 2. ED.sinKDE = 3 .DE Do đó EF đạt GTNN DE đạt GTNN DE  AB M trùng với D. ( Có thể dùng đ.lý pitago để tính EF theo DE ). 1 d) SDEIF = DI.EF theo DE 2 e) Tìm quỹ tích của K thông qua quỹ tích của I. Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD. Gọi A/, B/, C/, D/ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. CMR: A / / / / AA , BB , CC , DD đồng qui. B Lời giải: Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của BD, AC và A/C. Ta K N có: M +) NI là đường trung bình của AA/C / AA // NI. A/ / +) MNI có A là trung điểm của MI và I / C AA // NI K là trung điểm của MN. D Chứng minh tương tự thì BB/, CC/, DD/ đều đi qua trung điểm K của MN AA/, BB/, CC/, DD/ đồng qui tại K. CHUYÊN ĐỀ 2: TỨ GIÁC. I. ĐỊNH NGHĨA Trong các hình thì hình thang là hình gốc: 1. Hình thang là 1 tứ giác có 2 cạnh đối song song. 2. Hình thang cân là hình thang có 2 góc kề một đáy bằng nhau. 3. Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. 1
2. 4. Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song 5. Hình chữ nhật là tứ giác có 4 góc vuông 6. Hình thoi là tứ giác có 4 cạnh bằng nhau. 7. Hình vuông là tứ giác có 4 góc vuông và có 4 cạnh bằng nhau. II. TÍNH CHẤT - Hình thang : Nếu 1 hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau. Nếu 1 hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau. - Hình thang vuông : Hình thang vuông có hai góc vuông - Hình thang cân : Trong hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau Trong hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau. - Hình bình hành : Trong hình bình hành - Các cạnh đối bằng nhau. - Các góc đối bằng nhau. - Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. - Hình chữ nhật : Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành, hình thang cân. Trong hình chữ nhật hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường Hình chữ nhật có bốn cạnh và bốn góc vuông. Những cạnh đối nhau thì song song và bằng nhau. - Hình thoi : Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành Trong hình thoi: Hai đường chéo vuông góc với nhau. Hai đường chéo là các đường phân giác các góc của hình thoi - Hình vuông : Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi III. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT CÁC TỨ GIÁC THƯỜNG GẶP 1): Dấu hiệu nhận biết hình thang, hình thang vuông, hình thang cân: - Tứ giác có hai cạnh đối song song là hình thang - Hình thang có một góc vuông là hình thang vuông - Hình thang có 2 góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân - Hình thang có 2 đường chéo bằng nhau là hình thang cân 2): Dấu hiệu nhận biết hình bình hành (Có 5 dấu hiệu nhận biết): - Tứ giác có các cặp cạnh đối song song - Tứ giác có các cặp cạnh đối bằng nhau - Tứ giác có 2 cạnh đối song song và bằng nhau - Tứ giác có các góc đối bằng nhau - Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. 3): Hình chữ nhật (có 4 dấu hiệu nhận biết): - Tứ giác có 3 góc vuông - Hình thang cân có một góc vuông - Hình bình hành có một góc vuông - Hình bình hành có 2 đường chéo bằng nhau 4): Hình thoi (có 4 dấu hiệu nhận biết): - Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau - Hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau - Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc nhau - Hình bình hành có 1 đường chéo là đường phân giác của 1 góc. 2
3. 5): Hình vuông (có 5 dấu hiệu nhận biết): - Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau - Hình chữ nhật có 2 đường chéo vuông góc - Hình chữ nhật có 1 đường chéo là đường phân giác của một góc - Hình thoi có 1 góc vuông - Hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau. IV. Bài tập Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M, N, I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD. a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh. b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI. B N M A D I C a, Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân 4 3 8 3 b, Tính được AD = cm ; BD = 2AD = cm 3 3 1 4 3 AM = BD cm 2 3 4 3 Tính được NI = AM = cm 3 1 DC = BC = , MN = DC 2 Tính được AI = Bài 2: Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N . Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM. a) Chứng minh : ∆OEM vuông cân. b) Chứng minh : ME // BN. c) Từ C kẻ CH  BN ( H BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng. Chứng minh: A E B a) Xét ∆OEB và ∆OMC 1 Vì ABCD là hình vuông nên ta có OB = OC Và BC 450 11 1 2 BE = CM ( gt ) O Suy ra ∆OEB = ∆OMC ( c .g.c) 3 M H' OE = OM và OO13 H 1 Lại có OO BOC 900 vì tứ giác ABCD là hình vuông 23 D 0 C N OO21 EOM 90 kết hợp với OE = OM ∆OEM vuông cân tại O 3
4. Chứng minh : CFDAHCgg () CF AH CFAH Mà : CD = AB ABAHCFAC CD AC ABAC Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đpcm). CHUYÊN ĐỀ 3 : BÀI TOÁN TỈ SỐ DIỆN TÍCH VÀ ỨNG DỤNG Bài toán 1: Cho tam giác ABC, M là một điểm thuộc đường thẳng BC. S BM a) Chứng minh : ABM SACM CM S BI b) Gọi I và K là hình chiếu của B và C trên AM. Chứng minh: ABM . SACM CK Giải: 1 AHBM. S BM a) Vẽ AHBCHBC (). Khi đó ta có: ABM 2 S 1 CM ACM AHCM. 2 1 AMBI. S BI b) Ta có : ABM 2 S 1 CK ACM AM. CK 2 Hệ quả 1: Cho tam giác ABC, M thuộc đường thẳng BC thì SSABMACM M là trung điểm BC. Hệ quả 2: Cho tam giác ABC, và một điểm M bất kì. Khi đó nếu thì AM//BC hoặc AM đi qua trung điểm của BC. Hệ quả 3: Cho tam giác ABC, G là một điểm bất kì. Khi đó G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi SSSGABGBCGAC . S AD.AE Bài toán 2: Cho tam giác ABC. D và E là hai điểm thuộc cạnh AB và AC. Khi đó ADE S.ABC AB AC Giải: S AD S AE Theo bài toán 1 ta có: ADE và ABE SABE AB SABC AC SS AD AE Suy ra: ADE ABE . Vậy . SSABE ABC AB AC Chú ý: Kết quả của bài toán vẫn còn đúng nếu D, E thuộc đường thẳng AB và AC. S AB. AC Hệ quả 1: Nếu hai tam giác ABC và MNP có AM hoặc AM 1800 thì ABC SMNP MN. MP Hệ quả 2: Tỉ số hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng. Nghĩa là: nếu tam giác 2 SABC AB ABC và tam giác MNP đồng dạng thì: 2 SMNP MN 5
5. Trên đây là một vài kết quả về diện tích mà cách chứng minh đơn giản nhưng lại có nhiều ứng dụng khá hay. Sau đây là một vài ví dụ. Bài 1: Cho tam giác ABC. M là trung điểm của AB, N là điểm thuộc cạnh AC sao cho AC = AN. Gọi K là giao điểm của BN và CM. Chứng minh KC = 4KM. Hướng dẫn giải: S AN 1 S BN 1 Ta có ABK và MBK S CCBK N 2 S AABK B 2 S 1 S MK 1 Suy ra M B K , suy ra MBK . Vậy CK = 4MK SC B K 4 S CCBK K 4 Bài 2: Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác. AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC và AB tại M, N, P. Chứng minh: AOBOCO 2 AMBNCP Hướng dẫn giải: Ta có: BO SS CO SS Chứng minh tương tự ta có: ABOCBO và ACOBCO BNS ABC CPS ABC AOBOCO SSSSSS Từ đó suy ra: ABOACOABOBCOACOBCO 2 AMBNCPSSS ABCABCABC Bài 3: Cho tam giác ABC, về phía ngoài tam giác dựng hai hình chữ nhật ABDE và ACFG có diện tích bằng nhau. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC. Chứng minh OC đi qua trung điểm của DF. Hướng dẫn giải: Ta cần chứng hai tam giác OCD và OCF có diện tích bằng nhau. Vẽ Vẽ OH, OK lần lượt vuông góc 1 1 với CD và CF(H thuộc CD, K thuộc CF). Ta chứng minh được OH BC ; OK AC . Từ đó suy 2 2 1 1 1 ra: S OH. C D= BC . C D= S OCD2 4 4 BCDE 6
6. 1 và SS OCFACFG4 Mà SSABCACFGD nên ta có: SSOCOCFD . Từ đó ta có: OC đi qua trung điểm của DF Bài 4: Trên các cạnh AB, AB, AC của tam giác ABC cố định, người ta lần lượt lấy các điểm M, N, AM BN CP P sao cho: kk( 0) MB NC PA a) Tính SM NP theo SABC và k b) Tính k sao cho đạt giá trị nhỏ nhất Hướng dẫn giải S A M A. P Ta có: AMP S AABC B A C . CP AP 1 AP 1 Vì k AP PC k PC k 1 SAMP k Do đó: 2 SkABC ( 1 ) SBMN k SCNP k Chứng minh tương tự ta cũng có: 2 2 SkABC ( 1 ) SkABC ( 1 ) 3k Từ đó ta có: SSSSSSMNPABCAMPBMNCNPABC ()1 2 (1) k 3k b) Vì diện tích tam giác ABC không đổi nên để diện tích tam giác MNP nhỏ nhất thì 1 2 (1) k đạt giá trị nhỏ nhất. 2 3331kk Ta có 141 kk . (1)4(1)4 kk22 Dấu bằng xảy ra khi k = 1. 1 Vậy diện tích tam giác MNP lớn nhất bằng diện tích tam giác ABC khi k = 1. 4 CHUYÊN ĐỀ 4 - CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỊNH LÍ TA-LÉT. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG. I. Định lý Ta-lét A A. Kiến thức: ABC  AM AN * Định lí Ta-lét:  = M N MN // BC AB AC AM AN MN * Hệ quả: MN // BC = AB AC BC B C B. Bài tập áp dụng: 1. Bài 1: Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD ở E, đường thẳng qua B song song với AD cắt AC ở G a) Chứng minh: EG // CD B 2 b) Giả sử AB // CD, chứng minh rằng AB = CD. EG A Giải O Gọi O là giao điểm của AC và BD OE OA OB OG a) Vì AE // BC = (1) và BG // AC = (2) E G OB OC OD OA OE OG Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: = EG // CD OD OC D C 7
7. b) Khi AB // CD thì EG // AB // CD, BG // AD nên ABOAODCDABCD = = ABCD. EG 2 EGOGOBABEGAB 2. Bài 2: Cho ABC vuông tại A, Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở B, ACF vuông cân ở C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BF. Chứng minh rằng: a) AH = AK b) AH2 = BH. CK D Giải A Đặt AB = c, AC = b. H F BD // AC (cùng vuông góc với AB) K AHACbAHbAHb nên HBBDcHBcHB + AH b + c B C AHbAHbb.c Hay AH (1) AB b + cc b + cb + c AKABcAKcAKc AB // CF (cùng vuông góc với AC) nên KCCFbKCbKC + AK b + c AK b AK c b.c Hay AK (2) AC b + c b b + c b + c Từ (1) và (2) suy ra: AH = AK AHACb AKABc AHKCAHKC b) Từ và suy ra (Vì AH = AK) HBBDc KCCFb HBAKHBAH AH2 = BH . KC 3. Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC theo thứ tự tại E, K, G. Chứng minh rằng: A a a) AE2 = EK. EG B 111 b) b K AEAKAG E c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí nhưng vẫn qua A thì tích BK. DG có giá trị không đổi D C G Giải a) Vì ABCD là hình bình hành và K BC nên AD // BK, theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có: EKEBAEEKAE = = AEEK.EG 2 AEEDEGAEEG AE DE AE BE b) Ta có: = ; = nên AK DB AG BD AE AE BE DE BD11 = 1 AE1 (đpcm) AK AG BD DB BDAK AG BKABBKa KC CG KC CG c) Ta có: = = (1); = = (2) KCCGKCCG AD DG b DG B BKa Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: = BK. DG = ab không E bDG A đổi (Vì a = AB; b = AD là độ dài hai cạnh của hình bình hành P H F ABCD không đổi) O 4. Bài 4: D Q Cho tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD và AC=BD, các điểm E, F, G, H theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ N M số 1:2. Chứng minh rằng: G 8 C
8. a) EG = FH b) EG vuông góc với FH Giải Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của CF, DG 1 1 B M 2 BEBM2 Ta có CM = CF = BC = = = 2 3 B C 3 BABC3 EMBM22 EM // AC = EM = AC (1) ACBE33 NFCF22 Tương tự, ta có: NF // BD = NF = BD (2) BDCB33 mà AC = BD (3) Từ (1), (2), (3) suy ra : EM = NF (a) 1 Tương tự như trên ta có: MG // BD, NH // AC và MG = NH = AC (b) 3 Mặt khác EM // AC; MG // BD Và AC  BD EM MG E M G = 9 00 (4) Tương tự, ta có: F N H = 9 00 (5) Từ (4) và (5) suy ra EMG = FNH = 900 (c) Từ (a), (b), (c) suy ra EMG = FNH (c.g.c) EG = FH b) Gọi giao điểm của EG và FH là O; của EM và FH là P; của EM và FN là Q thì PQ F = 900 QPF + QFP = 900 mà Q PF = O PE (đối đỉnh), O E P = Q F P ( EMG = FNH) Suy ra EOP = PQF = 900 EO  OP EG FH 5. Bài 5: Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD. Từ D vẽ đường thẳng song song với BC, cắt AC tại M và AB tại K, Từ C vẽ đường thẳng song song với AD, cắt AB tại F, qua F ta lại vẽ đường thẳng song song với AC, cắt BC tại P. Chứng D C minh rằng a) MP // AB b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy. P Giải M I CP AF a) EP // AC = (1) PB FB CM DC AK // CD = (2) A K F B AM AK các tứ giác AFCD, DCBK là các hình bình hành nên AF = DC, FB = AK (3) CP CM Kết hợp (1), (2) và (3) ta có MP // AB (Định lí Ta-lét đảo) (4) PB AM DC DC b) Gọi I là giao điểm của BD và CF, ta có: = AK FB B DCDI CP DI Mà (Do FB // DC) IP // DC // AB (5) FBIB PB IB Từ (4) và (5) suy ra : qua P có hai đường thẳng IP, PM cùng song M song với AB // DC nên theo tiên đề Ơclít thì ba điểm P, I, M thẳng K AG hang hay MP đi qua giao điểm của CF và DB hay ba đường thẳng F MP, CF, DB đồng quy II. CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN A D E C GIÁC CỦA TAM GIÁC B D C A A. Kiến thức: . Tính chất đường phân giác: 9 D' B C
9. B D A B ABC, AD là phân giác góc A = CD A C B D' A B AD’là phân giác góc ngoài tại A: = CD' A C B. Bài tập vận dụng 1. Bài 1: Cho ABC có BC = a, AB = b, AC = c, phân giác AD a) Tính độ dài BD, CD A AI b) Tia phân giác BI của góc B cắt AD ở I; tính tỉ số: ID c Giải b B D A B c a) AD là phân giác của B A C nên I CD A C b BD c BD c ac BD = CD + BD b + c a b + c b + c B D C ac ab Do đó CD = a - = a b + c b + c AIABacb + c b) BI là phân giác của A B C nên c : IDBDb + ca 2. Bài 2: Cho ABC, có B 4 DM Giải A A + C 180-0 B A a)Ta có ADB = C + > = 600 2 2 2 A DB > AD 4 DM ta c/m a > hay (b + d)(b + c) > 4bd (1) (b + c)(b + d) Thật vậy : do c > d (b + d)(b + c) > (b + d)2 4bd . Bất đẳng thức (1) được c/m 3. Bài 3: Cho ABC, trung tuyến AM, các tia phân giác của các góc AMB , AMC cắt AB, AC theo thứ tự ở D và E a) Chứng minh DE // BC b) Cho BC = a, AM = m. Tính độ dài DE c) Tìm tập hợp các giao diểm I của AM và DE nếu ABC có BC cố định, A AM = m không đổi d) ABC có điều kiện gì thì DE là đường trung bình của nó Giải DA MA I E a) MD là phân giác của AMB nên (1) D DB MB EA MA ME là phân giác của AMC nên (2) EC MC B M C DA EA Từ (1), (2) và giả thiết MB = MC ta suy ra DE // BC DB EC 10
10. x m - DEADAI x2a.m b) DE // BC . Đặt DE = x 2 x = BCABAM ama + 2m 1 a.m c) Ta có: MI = DE = không đổi I luôn cách M một đoạn không đổi nên tập hợp các 2 a + 2m điểm I là đường tròn tâm M, bán kính MI = (Trừ giao điểm của nó với BC) d) DE là đường trung bình của ABC DA = DB MA = MB ABC vuông ở A 4. Bài 4: Cho ABC ( AB DE > BE A Giải a) BD là phân giác nên ADABACAEADAE = EB E nằm giữa K và B KBEB b) Gọi M là giao điểm của DE và CB. Ta có CBD = KDB(Góc so le trong) KBD = KDB mà E nằm giữa K và B nên KDB > EDB KBD > EBD > EB E C B > DCE (Vì = ) Suy ra CD > ED CD > ED > BE III. CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG. A. Kiến thức: * Tam giác đồng dạng: a) trường hợp thứ nhất: (c.c.c) ABACBC ABC A’B’C’ = = A'B'A'C'B'C' b) trường hợp thứ nhất: (c.g.c) ABAC ABC A’B’C’ = ; A = A' A'B'A'C' c. Trường hợp đồng dạng thứ ba (g.g) ABC A’B’C’ ; B = B' A'H' S 2 AH; A’H’là hai đường cao tương ứng thì: = k (Tỉ số đồng dạng); A'B'C' = K AH SABC B. Bài tập áp dụng A Bài 1: Cho ABC có B = 2 C, AB = 8 cm, BC = 10 cm. a)Tính AC b)Nếu ba cạnh của tam giác trên là ba số tự nhiên liên tiếp thì mỗi cạnh E B là bao nhiêu? Giải Cách 1: Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho:BD = BC C 11 D
11. A C A D ACD ABC (g.g) A B A C ACAB.2 AD =AB.(AB + BD) = AB(AB + BC) = 8(10 + 8) = 144 AC = 12 cm Cách 2: Vẽ tia phân giác BE của A B C ABE ACB ABAEBEAE + BEAC = AC = AB(AB + CB) 2 = 8(8 + 10) = 144 ACABCBAB + CBAB + CB A AC = 12 cm b) Gọi AC = b, AB = a, BC = c thì từ câu a ta có b2 = a(a + c) (1) Vì b > a nên có thể b = a + 1 hoặc b = a + 2 2 2 + Nếu b = a + 1 thì (a + 1) = a + ac 2a + 1 = ac a(c – 2) = 1 A a = 1; b = 2; c = 3(loại) D + Nếu b = a + 2 thì a(c – 4) = 4 - Với a = 1 thì c = 8 (loại) - Với a = 2 thì c = 6 (loại) B C - với a = 4 thì c = 6 ; b = 5 E Vậy a = 4; b = 5; c = 6 I 1 2 Bài 2:Cho ABC cân tại A, đường phân giác BD; tính BD biết BC = 5 D 1 H cm; AC = 20 cm 2 Giải 3 CDBC1 Ta có = CD = 4 cm và BC = 5 cm B O C ADAC4 Bài toán trở về bài 1 Bài 3: Cho ABC cân tại A và O là trung điểm của BC. Một điểm O di động trên AB, lấy điểm E trên AC OB2 sao cho CE = . Chứng minh rằng BD a) DBO OCE b) DOE DBO OCE c) DO, EO lần lượt là phân giác của các góc BDE, CED d) khoảng cách từ O đến đoạn ED không đổi khi D di động trên AB Giải CEOB a) Từ = và B = C (gt) DBO OCE OBBD b) Từ câu a suy ra O=3 E 2 (1) 0 Vì B, O ,C thẳng hàng nên O3 + DOEEOC180 (2) 0 trong tam giác EOC thì E2 + C EOC 180 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra DOEBC DO OE DO OE DOE và DBO có = (Do DBO OCE) và = (Do OC = OB) và DB OC DB OB nên DOE DBO OCE c) Từ câu b suy ra D12 = D DO là phân giác của các góc BDE Củng từ câu b suy ra E12 = E EO là phân giác của các góc CED c) Gọi OH, OI là khoảng cách từ O đến DE, CE thì OH = OI, mà O cố định nên OH không đổi OI không đổi khi D di động trên AB CHUYÊN ĐỀ 5: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC 12
12. A-Phương pháp giải bài toán cực trị hình học. 1- Hướng giải bài toán cực trị hình học : a) Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị lớn nhất ta phải chứng tỏ được : + Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f ≤ m ( m là hằng số ) + Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f = m b) Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị nhỏ nhất ta phải chứng tỏ được : + Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f ≥ m ( m là hằng số ) + Xác định vị trí của hình H trên miền D để f = m 2 - Cách trình bày lời giải bài toán cực trị hình học . + Cách1 :Trong các hình có tính chất của đề bài, chỉ ra một hình rồi chứng minh mọi hình khác đều có giá trị của đại lượng phải tìm cực trị nhỏ hơn ( hoặc lớn hơn ) giá trị của đại lượng đó của hình đã chỉ ra. + Cách2 :Biến đổi tương đương điều kiện để đại lượng này đạt cực trị bởi đại lượng khác đạt cực trị cho đến khi trả lời được câu hỏi mà đề bài yêu cầu. B-Các kiến thức thường dùng giải bài toán cực trị hình học. 1-Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu . a-Kiến thức cần nhớ: A B H C h.4 a1) ABC vuông tại A (có thể suy biến thành đoạn thẳng) AB ≤ BC . Dấu “=” xảy ra A ≡ C . ( h.3 ) a2) ( h.4 ) + AH  a AH ≤ AB . Dấu “=” xảy ra B ≡ H . + AB < AC HB < HC a3)( h.5 ) B A,K a; B, H b; a // b ; HK  a HK ≤ AB A B Dấu “=” xảy ra A ≡ K và B ≡ H . b-Các ví dụ: C Ví dụ 1: Trong các hình bình hành H O O≡H có hai đường chéo bằng 6 cm và 8 cm , D C hình nào có diện tích lớn nhất ? Tính diện tích lớn nhất đó. D Giải : h.6 h.7 Xét hình bình hành ABCD có AC = 8 cm; BD = 6 cm ( h.6) Gọi O là giao điểm hai đường chéo . Kẻ BH  AC . Ta có : SABCD = 2SABC = AC.BH Ta có AC = 8cm, BH ≤ BO = 3cm. Do đó : 2 E K SABCD ≤ 8.3 = 24 (cm ) A B 2 SABCD = 24 cm BH ≡ BO H ≡ O BD AC 2 Vậy max SABCD = 24 cm . Khi đó hình bình hành ABCD là hình F thoi (h.7) có diện tích 24cm2. Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD . Trên các cạnh AB,BC ,CD,DA O ta lấy theo thứ tự các điểm E,F,G,H sao cho AE = BF = CG = DH . H Xác định vị trí của các điểm E, F,G,H sao cho tứ giác EFGH có chu vi D C nhỏ nhất . G h.8 13
13. Giải : HAE = EBF = FCG = GHD HE = EF = FG = GH EFGH là hình thoi . A H E B E F AHEAEH90 0 BEFAEH90 0 H E F 90 0 EFGH là hình vuông Gọi O là giao điểm của AC và EG . Tứ giác AECG có AE = CG, AE //CG nên là hình bình hành suy ra O là trung điểm của AC và EG , do đó O là tâm của cả hai hình vuông ABCD và EFGH. HOE vuông cân : HE2 = 2OE2 HE = OE 2 Chu vi EFGH = 4HE = 4 OE . Do đó chu vi EFGH nhỏ nhất OE nhỏ nhất Kẻ OK AB OE ≥OK ( OK không đổi ) OE = OK E ≡ K Do đó minOE = OK Như vậy , chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất khi và chỉ khi E,F,G,H là trung điểm của AB , BC, CD, DA. Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a .Vẽ về một phía của AB các tia Ax và By vuông góc với AB . Qua trung điểm của M của AB có hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D .xác định vị trí của các điểm C,D sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất .Tính diện tích tam giác đó. Giải: x y Gọi K là giao điểm của CM và DB D MA = MB ; AB90 0 , AMCBMK MAC = MBK MC = MK 1 2 Mặt khác DM CK H DCK cân DD12 Kẻ MH  CD . C MHD = MBD MH = MB = a 1 1 1 2 SMCD = CD.MH ≥ AB.MH = 2a.a= a 2 2 2 A B M 2 0 0 SMCD = a CD  Ax khi đó A MC = 45 ; B M D =45 . 2 K Vậy min SMCD = a . Các điểm C,D được xác định trên Ax; By sao cho AC = BD =a . A h.9 Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có B là góc tù , điểm D di chuyển trên cạnh BC . Xác định vị trí của điểm D sao cho tổng các khoảng cách từ B và C đến đường thẳng E AD có giá trị lớn nhất . Giải: C Gọi S là diện tích ABC Khi D di chuyển trên cạnh H B D BC ta có : h.10 F SABD + SACD = S Kẻ BE AD , CF  AD 1 1 2S AD.BE + AD.CF = S BE +CF = 2 2 AD 14
14. Do đó BE + CF lớn nhất AD nhỏ nhất hình chiếu HD nhỏ nhất Do HD ≥ HB ( do ABD >900 ) và HD = HB D ≡ B Vậy Khi D ≡ B thì tổng các khoảng cách từ B và C đến AD có giá trị lớn nhất . 2. Sử dụng quan hệ giữa đường thẳng và đường gấp khúc. a-Kiến thức cần nhớ: Với ba điểm A,B,C bất kỳ ta có : AC +CB ≥ AB AC +CB = AB C thuộc đoạn thẳng AB b-Các ví dụ: Ví dụ 5:Cho góc x O y và điểm A nằm trong góc đó . Xác m định điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho OB = y OC và tổng AB +AC là nhỏ nhất . D Giải: Kẻ tia Om nằm ngoài góc xOy sao cho y O m x O A . Trên tia C Om lấy điểm D sao cho OD = OA . Các điểm D và A cố định . A OD =OA, OC = OB , C O D B O A O DOC = AOB CD = AB B x Do đó AC +AB = AC +CD h.11 Mà AC +CD ≥ AD AC +AB ≥ AD Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi C AD Vậy min(AC+AB) =AD. Khi đó C là giao điểm của AD và Oy , B thuộc tia Ox sao cho OB = OC. 15