Đề cương ôn tập cuối năm Toán Lớp 8

Nội dung text: Đề cương ôn tập cuối năm Toán Lớp 8

1. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 8 CUỐI NĂM Bài 1: Biểu diễn các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng. a. x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + 1 b. u2 + v2 + 2u + 2v + 2(u + 1)(v + 1) + 2 Giải: a. x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + 1 = x2 +2x(y + 1) + (y + 1)2 = (x + y + 1)2 b. u2 + v2 + 2u + 2v + 2(u + 1)(v + 1) + 2 = (u2 + 2u + 1) + (v2 + 2v + 1) + 2(u + 1)(v + 1) = (u + 1)2 + (v + 1)2 + 2(u + 1)(v + 1) = (u + 1 + v + 1)2 = (u + v + 2)2 Bài 2: Điền đơn thức thích hợp vào các dấu * a. 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3 b. 8x3 + 12x2y + * + * = ( * + *)3 c. x3 - * + * - * = (* - 2y)3 Giải: a. 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3 (2x)3 + * + * + (3y)3 8x3 + 3(2x)2.3y + 3(2x).(3y)2 + (3y)2 = (2x + 3y)3 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 = (2x + 3y)3 b. 8x3 + 12x2y + * + * = ( * + *)3 (2x)3 + 3(2x)2y + 3.2x (y)2 + y3 = (2x + y)3 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x + y)3 c. x3 - * + * - * = (* - 2y)3 x3 - 3x2 .2y + 3x(2y)2 - (2y)3 = (x - 2y)3 x3 - 6x2y + 12xy2 - 8y3 = (x - 2y)3
2. Bài 3: Rút gọn biểu thức: a. (a - b + c + d)(a - b - c - d) b. (x + 2y + 3z)(x - 2y + 3z) c. (x - 1)(x2 - x - 1)(x + 1)(x2 + x + 1) d. (x + y)3 - (x - y)3 e. (x2 + 3x + 1)2 + (3x + 1)2 - 2(x2 + 3x + 1)(3x - 1) Giải: a. (a - b + c + d)(a - b - c - d) =  a b c d . a b c d  = (a - b)2 - (c + d)2 = a2 - 2ab + b2 - c2 - 2cd - d2 = a2 + b2 - c2 - d2 - 2ab - 2cd b. (x + 2y + 3z)(x - 2y + 3z) =  x 3z 2y. x 3z 2y = (x + 2z)2 - (2y)2 = x2 + 6xz + 9z2 - 4y2 c. (x - 1)(x2 - x - 1)(x + 1)(x2 + x + 1) = (x3 - 1) (x3 + 1) = x6 - 1 d. (x + y)3 - (x - y)3 = (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) - (x3 - 3x2y + 3xy2 - y3) = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 - x3 + 3x2y - 3xy2 + y3 = 6x2y + 2y3 = 2y(3x2 + y2) e. (x2 + 3x + 1)2 + (3x + 1)2 - 2(x2 + 3x + 1)(3x - 1) 2 =  x 2 3x 1 . 3x 1  = (x2 + 3x + 1 - 3x + 1)2 = (x2 + 2)2 Tiết 10: Bài 4: Chứng minh rằng a. (a2 + b2) (x2 + y2) = (ay - bx)2 + (· + by)2 b. (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 c. (x + y)4 + x4 + y4 = 2(x2 + xy + y2)2
3. Giải: a. (a2 + b2) (x2 + y2) = (ay - bx)2 + (· + by)2 VP = (ay - bx)2 + (· + by)2 = ay2 - 2abxy + b2x2 + a2x2 + 2abxy + b2y2 = a2y2 + a2x2 + b2x2 + b2y2 = a2(x2 + y2) + b2(x2 + y2) = (a2 + b2) (x2 + y2) = VT ®pcm b. (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 VP = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 = a2 + 2ab + b2 + b2 + 2bc + c2 + c2 + 2ac + a2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc + a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = VT ®pcm c. (x + y)4 + x4 + y4 = 2(x2 + xy + y2)2 VT = (x + y)4 + x4 + y4 = x2 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 + x4 + y4 = 2(x4 + y4 + x2y2 + 2x3y + 2xy3 + 2x2y2) = 2(x2 + y2 + xy)2 = VP ®pcm Bài 5: Trong hai số sau, số nào lớn hơn. a. A = 1632 + 74. 163 + 372 bà B = 1472 - 94. 147 + 472 b. C = (22 + 42 + + 1002) - (12 + 32 + + 992) và c. D = 38. 78 - (214 + 1) 2 2 d. E = x y và H = x y với x > y > 0 x y x 2 y 2 Giải: a. A = (163 + 37)2 = 2002 = 40000 B = (147 - 47)2 = 1002 = 10000 Vậy A > B b. C = (22 - 12) + (42 - 32) + + (1002 - 992) (3 199).50 = 3 + 7 + + 199 = 5050 2 D = (3 . 7)8 - (218 - 1) = 1
4. Vậy D y > 0) Tiết 11: Bài 6: Xác định các hệ số a, b sao cho đa thức sau viết dưới dạng bình phương của một đa thức nào đó. a. x4 + 2x3 + 3x2 + ax + b b. x4 + ax3 + bx2 - 8x + 1 Giải: a. Giả thiết rằng: x4 + 2x3 + 3x2 + ax + b = (x2 + cx + d)2 Xét trường hợp: x4 + c2x2 + d2 + 2cx3 + 2dx2 + 2cdx = x4 + 2cx3 + x2(c2 + 2d) + 2cdx + d2 Sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số ta có: 2c 2 c 1 2 c 2d 3 d 1 2cd a a 2 2 b d b 1 Xét trường hợp x4 + 2x3 + 3x2 + ax + b = (- x2 + cx + d)2 Ta được: a = 2; b = 1; c = d = 1 Vậy x4 + 2x3 + 2x + 1 = (x2 + x + 1)2 = (- x2 - x - 1)2 Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất của đa thức: a. C = 5 - 8x - x2 b. D = - 3x(x + 3) - 7 Giải: a. C = 5 - 8x - x2 = - x2 - 8x - 16 + 16 + 5 = - (x2 + 8x + 16) + 21 = - (x + 4)2 + 21 Vì (x + 4)2 0  x - (x + 4)2 0x Do đó: - (x + 4)2 + 21 21 Vậy giá trị lớn nhất của C là 21 khi x + 4 = 0 x = - 4 b. D = - 3x(x + 3) - 7 = - 3x2 - 9x - 7
5. 3 9 9 = - 3(x2 + 2x. ) - 7 2 4 4 2 3 27 = - 3 x 7 2 4 2 3 1 = - 3 x 2 4 2 2 3 3 Vì x 0x 3 x 0x 2 2 3 1 1 Do đó: 3 x 2 4 4 1 3 3 Vậy giá trị lớn nhất của D là khi x 0 x 4 2 2 Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức. a. A = x2 + 5x + 8 b. B = x(x - 6) 5 25 25 Giải: A = x2 + 5x + 8 = x2 + 2. x. . 8 2 4 4 2 5 7 = x 2 4 2 2 5 5 7 7 Vì x 0x nên x 2 2 4 4 7 5 5 Vậy A có giá trị nhỏ nhất là khi x 0 x 4 2 2 b. B = x(x - 6) = x2 - 6x = x2 + 6x + 9 - 9 = (x - 3)2 - 9 Vì (x - 3)2 6x nên (x - 2)2 - 9 9 Vậy B có giá trị nhỏ nhất là - 9 khi x - 3 = 0 x = 3 Chủ đề 5: Phân tích đa thức thành nhân tư. A. Mục tiêu: - Ôn tập cho học sinh tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: a(b + c) = ab + ac
6. - Ôn tập cho học sinh nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tư. + Đặt nhân tư chung + Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ. + Nhóm các hạng tư + Phối hợp nhiều phương pháp. Ngoài ra cho học sinh làm quen với nhiều phương pháp khác như: + Tách một hạng tư thành nhiều hạng tư + Thêm bớt cùng một hạng tư thích hợp. + Phương pháp đặt biến phụ. B. Thời lượng: 3 tiết (tiết 12, 13, 14) C. Thực hiện: Tiết 12: Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tư bằng phương pháp đặt nhân tư chung. a. 12xy - 4x2y + 8xy2 b. 4x(x - 2y) - 8y(x - 2y) c. 25x2(y - 1) - 5x3(1 - y) d. 3x(a - x) + 4a(a - x) Giải: a. 12xy - 4x2y + 8xy2 = 4xy(3 - x + 2y) b. 4x(x - 2y) - 8y(x - 2y) = (x - 2y) (4x - 8y) = 4(x - 2y) (x - 2y) = 4(x - 2y)2 c. 25x2(y - 1) - 5x3(1 - y) = 25x2(y - 1) + 5x3(y - 1) = (y - 1) (25x2 + 5x3) = 5x2(y - 1) (5 - x) d. 3x(a - x) + 4a(a - x) = (a - x) (3x + 4a) Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tư bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. 1 1 a. a 2 b 2 36 4 b. (x + a)2 - 25 c. x2 + 2x + 1 - y2 + 2y - 1
7. d. - 125a3 + 75a2 - 15a + 1 Giải: 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 a. a 2 b 2 = a b a b . a b 36 4 6 2 6 2 6 2 b. (x + a)2 - 25 = (x + a)2 - 52 = (x + a + 5) (x + a - 5) c. x2 + 2x + 1 - y2 + 2y - 1 = (x + 2x + 1) - (y2 - 2y + 1) = (x + 1)2 - (y - 1)2 = (x + 1 + y - 1) (x + 1 - y + 1) = (x + y) (x - y + 2) d. - 125a3 + 75a2 - 15a + 1 = (1 - 5a)3 Tiết 13: Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tư bằng phương pháp nhóm hạng tư. a. 4x2 - 9y2 + 4x - 6y b. x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3 c. a2x + a2y - 7x - 7y d. x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x + 1)2 Giải: a. 4x2 - 9y2 + 4x - 6y = (4x2 - 9y2) + (4x - 6y) = (2x + 3y) (2x - 3y) + 2(2x - 3y) = (2x - 3y) (2x + 3y + 2) b. x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3 = x3 + y - 3x2y + 3xy2 - x - y3 = (x3 - 3x2y + 3xy2 - y3) - (x - y) = (x - y)3 - (x - y) = (x - y)  x y 2 1 = (x - y) (x - y + 1) (x - y - 1) c. a2x + a2y - 7x - 7y = (a2x + a2y) - (7x + 7y) = a2(x + y) - 7(x + y) = (x + y) (a2 - 7) d. x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x + 1)2 = x x 1 2 5 x 1 2  x x 5 = (x + 1)2 (x - 5) + x(x - 5) = (x - 5)  x 1 2 x = (x - 5) (x2 + 3x + 1)
8. Bài 4: Phân tích đa thức thnµh nhân tư bằng cách phối hợp nhiều phương pháp. a. x4 + x2y2 + y4 b. x3 + 3x - 4 c. x3 - 3x2 + 2 d. 2x3 + x2 - 4x - 12 Giải: a. x4 + x2y2 + y4 = x4 + 2x2y2 + y4 - x2y2 = (x2 + y2)2 - x2y2 = (x2 + y2 )2 - (xy)2 = (x2 + y2 + xy) (x2 + y2 - xy) b. x3 + 3x - 4 = x3 - 3x2 + 3x - 1 + 3x2 - 3 = (x - 1)3 + 3(x2 - 1) = (x - 1)3 + 3(x + 1) (x - 1) = (x - 1)  x 1 2 3 x 1  = (x - 1) (x2 + x + 4) c. x3 - 3x2 + 2 = x3 - 3x2 + 3x - 1 - 3x + 3 = (x - 1)3 - 3(x - 1) = (x - 1) x 1 2 3 = (x - 1) (x2 - 2x - 2) d. 2x3 + x2 - 4x - 12 = (x2 - 4x + 4) + (2x3 - 16) = (x - 2)2 + 2(x3 - 8) = (x- 2)2 + 2(x - 2) (x2 + 2x + 4) = (x - 2)  x 2 2 x 2 2x 4  = (x - 2) (2x2 + 5x + 6) Tiết 14: Bài 5: Tính bằng cách hợp lÝ nhất giá trị các biểu thức 5 4 1 2 a. 3 .5 4 .3,8 19 5 3 3 b. a2 - 86a + 13 với a = 87 c. a2 + 32a - 300 với a = 68 d. a3 - b 3 - 3ab(a - b) với a = - 27, b = - 33 Giải: 5 19 1 2 a. = . 5 4 10 19 5 3 3 b. a2 - 86a + 13 = 87(87 - 86) + 13 = 87 + 13 = 100 c. a2 + 32a - 300 = 68(68 + 32) - 300 = 68. 100 - 300 = 6500 d. a3 - b 3 - 3ab(a - b) = (a - b) (a2 + ab + b2 - 3ab)
9. = (a - b)3 = (- 27 + 33)3 = 63 = 216 Bài 6: Tìm x biết: a. (x - 2) (x - 3) + (x - 2) - 1 = 0 b. (x + 2)2 - 2x(2x + 3) = (x + 1)2 Giải: a. (x - 2) (x - 3) + (x - 2) - 1 = 0 (x - 2) (x - 3 + 1) - 1 = 0 (x - 2)2 - 1 = 0 (x - 2 + 1) (x - 2 - 1) = 0 (x - 1) (x - 3) = 0 x = 1 hoặc x = 3 Vậy nghiệm của phương trình: x1 = 1, x2 = 3 b. (x + 2)2 - 2x(2x + 3) = (x + 1)2 (x + 2)2 - (x + 1)2 - 2x(2x + 3) = 0 (x + 2 + x + 1) (x + 2 - x - 1) - 2x(2x + 3) = 0 (2x + 3) - 2x(2x + 3) = 0 (2x + 3) (1 - 2x) = 0 x = - 3 hoặc x = 1 2 2 3 1 Vậy nghiệm của PT: x1 = - , x2 = 2 2 Chủ đề 6: Hình chữ nhật A. Mục tiêu: - Ôn tập cho học sinh các tính chất của hình chữ nhật. - Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật - Rèn luyện khả năng vẽ hình, chứng minh một bài toán. B. Thời lượng: 3 tiết (tiết 15, 16, 17) C. Thực hiện: A B Tiết 15: Bài 1: Tìm x trên hình bên (®v đo: cm) Giải:
10. KỴ BH  CD. Tứ giác ABHD có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật, do đó: D H C DH = AB = 16cm HC = DC - DH = 24 - 16 = 8cm Xét BHCvuông theo định lý Pitago BH = BC 2 HC 2 17 2 82 225 15cm Vậy x = 15cm Bài 2: Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH kµ hình gì? Vì sao? Giải: Tam giác ABC có AE = EB, BF = FC B EF = AC (1) E F Chứng minh tương tự: HG // AC (2) Từ (1), (2) EF // HG (*) A C Chứng minh tương tự: EH // FG ( ) H G Từ (*) và ( ) EFGH là hình bình hành. EF // AC, BD  AC EF  BD D EF  BD, EH // BD EF  EH Hình bình hành EFGH có góc E = 900 là hình chữ nhật Bài 3: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 4cm, Điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. a. Tứ giác EDME là hình gì? tính chu vi tứ giác đó. b. Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì đoạn thẳng DE có độ dài nhỏ nhất. Giải: a. Tứ giác ADME có góc <A = <D = <E = 900 B
11. Vậy tứ giác ADME là hình chữ nhật. D M - Chu vi của hình chữ nhật ADME bằng: 2(AD + DM) = 2(AD + DB) = 2AB = 2 . 4 = 8cm A C b. Gọi H là trung điểm của BC, ta có AH  BC ADME là hình chữ nhật DE = AM Ta có: DE = AM > AH. Dấu “=” xảy ra khi M  H Vậy DE có độ dài nhỏ nhất là AH khi M là trung điểm của BC Tiết 16: Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Gọi D là điểm đối xứng với G qua M. Gọi E là điểm đối xứng với G qua N. Tứ giác BEDC là hình gì? Vì sao? A Giải: E D D đối xứng với G qua M GD = 2GM G là trọng tâm của tam giác ABC BG = 2GM BG = GD chứng minh tương tự: CG = GE B C Tứ giác BEDC có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành CBM BCN (c.g.c) <B1 = <C1 BG = CG BD = CE Hình bình hành BEDC có hai đường chéo bằng nhau nên là hình chữ nhật.
12. Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A . Điểm D thuộc cạnh AC. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của BD , BC, DC. Chứng minh rằng tứ giác EFEG là hình thang cân. B Giải: Vì EF là đường trung bình của tam giác BDC nên EF // DC Do đó: AEFG là hình thang Do FG là đường trung bình của tam giác BDC A D G C Nên FG // BD góc <G1 = <D1 (đồng vị) Vì tam giác ABD vuông tại A, AE là đường BD trung tuyến nên AE = ED 2 Do đó: tam giác AED cân tại E góc <A1 = <D1 Từ đó góc <G1 = <A1 Hình thang AEFG có hai góc kÌ một đáy bằng nhau nên là hình thang cân. Tiết 17: Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM a. CMR: Góc <HAB = <MAC b. Gọi D, E thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. CMR AM vuông góc với DE A Giải: a. Ta có góc <A1 = <C (cùng phụ với <HAC) E AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác ABC AM = MC D O góc <C = <A2 góc <A1 = <A2 b. Gọi O là giao điểm của AH và DE B H M C I là giao điểm của AM và DE Tứ giác ADHE là hình chữ nhật (có 3 góc vuông) OA = OE góc <E1 = <OAE (1) Ta lại có: AHC vuông góc <C + <OAE = 900 (2)
13. ta có: góc <C = <A2 (3) (cm ở câu a) 0 Từ (1), (2), (3) góc <E1 + <A2 = 90 Góc <AIE = 900 tức AM  DE Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. a. CMR: AH = DE b. Gọi I là trung điểm của HB, K là trung điểm của HC CMR: DI // EK Giải: a. Tứ giác ADHE có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật A Do đó: AH = DE b. Gọi O là giao điểm của AH và DE E ADHE là hình chữ nhật OH = OE góc <E1 = <H1 (1) D Tam giác EHC vuông có EK là đường B C trung tuyến ứng với cạnh huyền HK = EK góc <E2 = <H2 (2) 0 Từ (1), (2) góc <E1 + <E2 = <H1 + <H2 = <AHC = 90 Do đó: góc DEK = 900 Chứng minh tương tự ta có: góc EDI = 900 Vậy DI // EK (®pcm)