Đề cương ôn tập Toán Lớp 8 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề cương ôn tập Toán Lớp 8 (Có đáp án)

1. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 8 Đại Số Đề số 1 Bài 1: Thực hiện phép nhân. a. 2x 2 . x3 3x 2 x 1 2 1 1 b. 10x 3 y z . xy 5 3 2 Giải: a. = 2x5 6x 4 2x3 2x 2 2 1 1 1 1 b. 10x 3 y z . xy = 5x 4 y xy2 xyz 5 3 2 5 6 Bài 2: Chứng tỏ rằng các đa thức không phụ thuộc vào biến. a. x 2x 1 x2 x 2 x3 x 3 b. 4 x 6 x2 2 3x x 5x 4 3x2 x 1 Giải: a. = = 2x 2 x x3 2x 2 x3 x 3 3 Vậy đa thức không phụ thuộc vào biến x. b. = = 4x 24 2x 2 3x3 5x 2 4x 3x3 3x 2 24 Vậy đa thức không phụ thuộc vào biến x. Bài 3: Tính giá trị của biểu thức sau khi thực hiện các phép toán. a. 3x 10x2 2x 1 6x 5x2 x 2 với x = 15 1 1 b. 5x x 4y 4y y 5x với x ; y 5 2 1 c. 6xy xy y 2 8x2 x y 2 5y 2 x 2 xy với x ; y 2 2 Giải: a. =
2. = 30x3 6x 2 3x 30x3 6x 2 12x 15x Thay x = 15 ta có: 15x 15.15 2 2 5 b. 5x x 4y 4y y 5x = 5x 2 20xy 4y 2 20xy = 5x 2 4y 2 2 2 1 1 1 1 4 Thay x ; y 2 ta có: 5. 4 1 2 5 2 5 5 c. 6xy xy y 2 8x2 x y 2 5y 2 x 2 xy = = 6x2 y 2 6xy3 8x3 8x2 y 2 5x 2 y 2 5xy3 = = 19x 2 y 2 11xy3 8x3 2 3 1 1 1 Thay ta có: 19. .22 11. .23 8. 19 44 1 26 2 2 2 Bài 4: Điền vào chỗ dấu * để được đẳng thức đúng. a. 36x3 y 4 * * 4x 2 y 2y 3 b. 2a3b. 4ab 2 * * a5b2 Giải: a. Vì *.4x 2 y 36x3 y 4 9xy3.4x 2 y nên dấu * ở vỊ phải là 9xy3 Vì * ở vế trái là tích của 9xy3 với 2y3 nên phải điền vào dấu * này biểu thức 9xy3.2y 3 18xy6 vậy ta có đẳng thức đúng. 36x3 y 4 18xy6 9xy3. 4x2 y 2y3 b. Lý luận tương tự câu a. 1 Đẳng thức đúng là: 2a 3b. 4ab 2 a 2b 8a 4b3 a 5b 2 2 Bài 5: Chứng minh các đẳng thức sau: a. a.(b - c) - b.(a + c) + c.(a - b) = -2ac. b. a(1 - b) + a(a2 - 1) = a.(a2 - b) c. a.(b - x) + x.(a + b) = b.(a + x) Giải: a. VT = a.(b - c) - b.(a + c) + c.(a - b) = ab - ac - ab - bc + ac - bc = -2bc = VP đpcm
3. b. VT = a.(1 - b) + a.(a2 - 1) = a - ab + a3 - a = a3 - ab = a.(a2 - b) = VP đpcm. c. VT = a.(b - x) + x.(a + b) = ab - ax + ax + xb = ab + xb = b(x + a) = VP đpcm Bài 6: Tìm x biết a. 5x.(12x + 7) - 3x(20x - 5) = - 100 b. 0,6x(x - 0,5) - 0,3x(2x + 1,3) = 0,138 Giải: a. 5x.(12x + 7) - 3x(20x - 5) = - 100 60x2 + 35x - 60x2 + 15x = - 100 50x = - 100 x = - 2 b. 0,6x(x - 0,5) - 0,3x(2x + 1,3) = 0,138 0,6x2 - 0,3x - 0,6x2 - 0,39x = 0,138 - 0,6x = 0,138 x = 0,138 : (- 0,6) - 0,2 Đề số 2 Bài 1: Làm tính nhân. a. (x2 + 2)(x2 + x+ 1) b. (2a3 - 1 + 3a)(a2 - 5 + 2a) Giải: a. (x2 + 2)(x2 + x+ 1) = x4 + x3 + x2 + 2x2 + 2x + 2 = x4 + x3 + 3x2 + 2x + 2 b. (2a3 - 1 + 3a)(a2 - 5 + 2a) = 2a5 - 10a3 + 4a4 - a2 + 5 - 2a + 3a3 - 15a + 6a2 = 2a5 + 4a4 - 7a3 + 5a2 - 17a + 5 Bài 2: Chứng tỏ rằng đa thức sau không phụ thuộc vào biến.
4. (x2 + 2x + 3)(3x2 - 2x + 1) - 3x2(x2 + 2) - 4x(x2 - 1) Giải: (x2 + 2x + 3)(3x2 - 2x + 1) - 3x2(x2 + 2) - 4x(x2 - 1) = 3x4 - 2x3 + x2 + 6x3 - 4x2 + 2x + 9x2 - 6x + 3 - 3x4 - 6x2 - 4x3 + 4x = 3 Kết quả là một hằng số. Vậy đa thức trên không phụ thuộc vào biến. Bài 3: Cho x = y + 5. Tính a. x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65 b. x2 + y(y - 2x) + 75 Giải: a. x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65 Từ giả thiết x = y + 5 x - y = 5 Ta có: x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65 = x2 + 2x + y2 - 2y - 2xy + 65 = x2- xy + y2 - xy + 2x - 2y + 65 =x(x - y) - y(x - y) + 2(x - y) + 65 = (x - y)(x - y) + 2(x - y) + 65 = (x - y)2 + 2(x - y) + 65 = 52 - 2.5 + 65 = 100 b. x2 + y(y - 2x) + 75 = x2 + y2 - 2xy + 75 = x(x - y) - y(x - y) + 75 = (x - y) (x - y) + 75 = 5.5 + 75 = 100 Bài 4: Tính giá trị của biểu thức. a. A = x3 - 30x2 - 31x + 1 tại x = 31 b. B = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x tại x = 14 Giải: a. Với x = 31 thì A = x3 - 30x2 - 31x + 1 = x3 - (x - 1)x2 - x.x +1 = x3 - x3 + x2 + 1 = 1 b. Với x = 14 thì B = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13 = x5 - (x + 1)x4 + (x + 2)x3 - (2x + 1)x2 + x(x - 1) = x5 - x5 - x4 + x4 + 2x3 - 2x3 - x2 + x2 - x = -x = - 14
5. Bài 5: CMR với mọi số nguyên n thì a. (n2 + 3n - 1)(n + 2) - n3 + 2 chia hết cho 5. b. (6n + 1)(n + 5) - (3n + 5)(2n - 1) chia hết cho 2. Giải: a. Ta có: (n2 + 3n - 1)(n + 2) - n3 + 2 = n3 + 3n2 - n + 2n2 + 6n - 2 - n3 + 2 = 5n2+ 5n = 5(n2 + n)  n  n b. (6n + 1)(n + 5) - (3n + 5)(2n - 1) = 6n2 + n + 30n + 5 - 6n2 - 10n + 3n + 5 = 24n + 10 = 2(12n + 5) 2  n Hình Học Đề số 1 Bài 1: Cho tứ giác ABCD, đường chéo AC bằng cạnh AD. Chứng minh cạnh BC nhỏ hơn đường chéo BD. Giải: C Gọi O là giao điểm của hai đường chéo B Trong tam giác AOD ta có: AD < AO + OD (1) O Trong tam giác BOC ta có BC < OC + BO (2) A D Cộng từng vỊ của (1) và (2) ta có: AD + BC < AC + BD (3) Theo đề ra: AC = AD nên từ (3) BC < BD (®pcm) Bài 2: Tứ giác ABCD có AB = BC, CD = DA a. CMR: BD là đường trung trực của AC b. Chã biết góc B = 1000, góc D = 700. Tính góc A và góc C.
6. A Giải: a. BA = BC (gt) DA = DC (gt) B D BD là đường trung trực của AC C b. A B D C B D (c.c.c) Góc <BAD = <BCD (hai góc tương ứng) ta lại có: Góc <BAD + <BCD = 3600 - <B - <D = 3600 - 1000 - 70 0 = 1900 Do đó: Góc <A = <C = 1900 : 2 = 95 0 Bài 3: Tính các góc của tứ giác: ABCD biết rằng Góc <A : <B : <C : <D = 1 : 2 : 3 : 4 Giải: Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và tổng các góc của tứ giác ta có: A B C D A B C D 3600 360 1 2 3 4 1 2 3 4 10 Do đó: góc <A = 360; < B= 720; <C = 1080 ; <D = 1440 Đề số 2 Bài 1: Tính các góc của hình thang ABCD (AB//CD) biết rằng góc <A = 3<D; <C = 300. Giải: Từ <A + <D = 1800, <A = 3<D <D = 450, <A = 1350 Từ <B + <C = 1800, <B - <C = 300 1800 300 Ta tính được: <C = 2 750 <B = 1800 - 750 = 1050 Bài 2: Tứ giác ABCD có BC = CD và DB là tia gica của góc D. CMR ABCD là hình thang. Giải:
7. BC Dcó BC = CD BC D là tam giác cân B C <D1 = <B1 Theo gt <D1 = <D2 <B1 = <D2. Do đó BC // AD Vậy ABCD là hình thang A D Bài 3: Chứng minh rằng trong hình thang các tia phân giác của hai góc kÌ một cạnh bên vuông góc với nhau. Giải: Xét hình thang ABCD có AB // CD A B 1 Ta có: <A1 = <A2 = <A 2 1 <D1 = <D2 = <D E 2 mà <A + <D = 1800 D C 0 Nên <A1 + <D1 = 90 0 Trong AD E có <A1+ <D1 = 90 <AED = 900. Vậy AE  DE Bài 4: Cho hình thang vuông ABCD có <A = <D = 900; AB = AD = 2cm, DC = 4cm. Tính các góc của hình thang. Giải: A B Kẻ BH vuông góc với CD. Hình thang ABHD có hai cạnh bên AD// BH AD = BH, AB = DH Do đó: HB = HD = 2cm HC = 2cm BHC vuông tại H <C = 450 D C <ABC = 1350 Bài 5: Hình thang cân ABCD có AB // CD. O là gia điểm của hai đường chéo. CMR: OA = OB, OC = OD A B Giải: Vì ABCD là hình thang cân nên AD = BC, <ADC = <BCD ADC BCD (c.g.c) D C <C1 = <D1 OCD cân OC = OD
8. Ta lại có: AC = BD nên OA = OB Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A. trên các cạnh bên AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN. a. Tứ giác BMNC là hình gì? Vì sao? b. Tính các góc của tứ giác BMNC biết rằng <A = 400. Giải: a. Tam giác ABCD cân tại A A 1800 A <B = <C = 2 Lại có BM = CN (gt) AM = AN M N A MN cân tại A <M1 = <N1 = <B = <M1 do đó: MN //BC B C Vậy tứ giác BMNC là hình thang Lại có: <B = <C nên BMNC là hình thang cân. 0 0 b. <B = <C = 70 , <M2 = <N2 = 110 Bài 7: Cho hình thang cân ABCD có O là giao điểm của hai đường thẳng chứa cạnh bên AD, BC và E là giao điểm của hai đường chéo. CMR OE là đường trung trực của hai đáy. Giải: O ABCD là hình thang cân <D = <C ODC cân OD = OC mà AD = BC (gt) OA = OB A B Vậy O thuộc đường trung trực của hai đáy E ADC BCD (c.c.c) <C1 = <D1 ED = EC (1) D C Lại có: AC = BD nên EA = EB (2) Từ (1) và (2) E thuộc đường trung trực của hai đáy. Vậy OE là đường trung trực của hai đáy. Bài 8: a. Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = b, đáy lớn CD = a. Đường cao AH.
9. CMR: HD = a b , HC = a b (a, b có cùng đơn vị đo) 2 2 b.Tính đường cao của hình thang cân có hai đáy 10cm, 26cm, cạnh bên 17cm Giải: a. KỴ đường cao BK AHD BKC (cạnh huyền góc nhọn) HD = KC A B Hình thang ABKH có các cạnh bên AH, BK song song nên AB = HK Ta có: a - b = DC - AB = DC - HK = HD + KC = 2HD D H K C Vậy HD = , HC = DC - HD = = b. Xét hình thang cân ABCD có đáy AB = 10cm, đáy CD = 26cm, cạnh bên AD = 17cm. Trước hết ta có: HD = 8cm AH2 = 172 - 82 = 289 - 64 = 225 = 152 Vậy AH = 15cm Bài 9: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD = 1 DC. Gọi M là 2 trung điểm của BC, I là gia điểm của BD và AM. CMR: AI = IM Giải: A Gọi E là trung điểm của DC. D Vì B D C có BM = MC, DE = EC. I Nên BD // ME DI // EM E Do AME có AD = DE, DI // EM Nên AI = IM B M C Bài 10: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, I theo thứ thù là trung điểm của AD, BC, AC. CMR a. EI // CD, IF // AB b. b. EF < AB CD 2
10. Giải: Xét A DCcó: AE = ED 1 AI = IC nên EI // DC, EI = DC 2 Tương tự A BC có: AI = IC, BF = FC B Nên IF // AB, IF = 1 AB A 2 b. Trong EFI ta có: EF EI + IF K CD AB EF E F 2 2 AB CD Vậy EF 2 D C Dấu “=” xảy ra khi E, I, F thẳng hàng, tức AB // DC Bài 11: Cho hình thang ABCD (AB // CD). M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BC. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN và BD, MN và AC. Cho biết AB = 6cm, AD = 14cm. Tính các độ dài MI, IK, KN. Giải: Vì MN là đường trung bình của hình thang ABCD nên MN // AB // DC A B Xét ADC có AM = MD, MK // DC KA = KC DC 14 Do đó: MK = 7cm I K 2 2 Tương tự: AB D có AM = MD, MI // AB D C nên BI = ID 1 6 Do đó: MI = AB 3cm 2 2 Từ đó ta có: IK = MK - MI = 7 - 3 = 4cm Xét ABC có BN = NC, NK // AB 1 6 AK = KC Vậy KN = AB 3cm 2 2 Bài 12: Dùng hình thang ABCD (AB // CD), biết <D = 900, AD = 2cm, CD = 4cm, BC = 3cm. Giải: B B/ x
11. * Cách dùng: A - Dựng tam giác ABC, biết hai cạnh và góc xen giữa. AD = 2cm, CD = 4cm, <D = 900 - Dựng tia Ax  AD (Ax và C thuộc cùng D C một nửa mặt phẳng bê AD) - Dựng cung tròn tâm C có bán kính 3cm, cắt tia Ax ở B. - KỴ đoạn thẳng BC. * Chứng minh: Tứ giác ABCD là hình thang vì: AB // CD Hình thang ABCD có <D = 900, AD = 2cm, CD = 4cm, Cb = 3cm. Vậy hình thang ABCD thoả mãn yêu cầu bài toán. * Biện luận: Ta dùng được hai hình thang thoả mãn điều kiện bài toán: ABCD, AB/CD Bài 13: Dùng hình thang ABCD, biết hai đáy AB = 2cm, CD = 4cm, <C = 500, <D = 700 A B B x Giải: * Phân tích Giả sử dùng được hình thang ABCD thoả mãn yêu cầu của bài toán. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt CD ở E. D E C Hình thang ABCD có hai cạnh bên AE, BC Song song nên EC = AB = 2cm. Do đó: DE = 2cm Tam giác ADE dùng được vì biết một cạnh và 2 góc kÌ Từ đó dùng được các điểm C và B. * Cách dùng: - Dựng tam giác ADE biết DE = 2cm, <D = 700, <E = 500 - Trên tia DE dựng điểm C sao cho DC = 4cm - Dựng các tia Ax // EC, Cy // EA. Chóng cắt nhau tại B. * Chứng minh: ABCD là hình thang vì: AB // CD
12. Ta có: <D = 700, DC = 4cm, <C = <ABD <C = 500 Hình thang ABCE có hai cạnh bên AE, BC song song Nên AB = EC = 4 - 2 = 2cm