Đề khảo sát đội tuyển học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Trường THCS Lê Quý Đôn (Kèm hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề khảo sát đội tuyển học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Trường THCS Lê Quý Đôn (Kèm hướng dẫn chấm)

1. UBND HUYỆN AN DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2022 -2023 MÔN: TOÁN 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) Bài 1. (2,0 điểm) 1. Cho hai số a, b thỏa mãn a b9; ab 14. Chứng minh rằng: a2 b 22( a 3 b 3 ) 755. 2. Tìm một đa thức bậc ba P( x ), biết P( x ) chia cho các đa thức x 1 , x 2 , x 3 đều được dư là 6 và P 1 18 . Bài 2. (2,0 điểm) 1. Giả sử p và q là các số nguyên tố thỏa mãn đẳng thức p( p 1) q ( q2 1). Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương k sao cho p 1 kq ; q2 1 kp . 2. Giải phương trình nghiệm nguyên: 2xx2 4 19 3 y 2 . Bài 3. (2,0 điểm) 5 1. Giải phương trình: x2 4x 1 0. x2 4x 5 2. Cho abc,, là các số thực dương. Chứng minh rằng: a2 b 2 c 2 1 (a b c ) 3a2 8 b 2 14 ab 3 b 2 8 c 2 14 bc 3 c 2 8 a 2 14 ca 5 Bài 4. (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE AF . Vẽ AH vuông góc với BF ( H thuộc BF ), đường thẳng AH cắt các đường thẳng DC và BC lần lượt tại hai điểm M và N. 1. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật. 2. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh rằng : AC 2 EF . 1 1 1 3. Chứng minh rằng : . AD2 AM 2 AN 2 Bài 5. (1,0 điểm) Một giải bóng chuyền có 9 đội bóng tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt (hai đội bất kỳ chỉ thi đấu với nhau 1 trận). Biết đội thứ nhất thắng a1 trận và thua b1 trận, đội thứ 2 thắng a2 trận và thua b2 trận, ., đội thứ 9 thắng a9 trận và thua b9 trận. 2 2 2 2 2 2 2 2 Chứng minh rằnga1 a 2 a 3 a 9 b 1 b 2 b 3 b 9 Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh
2. UBND HUYỆN AN DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2022 -2023 MÔN: TOÁN 8 HƯỚNG DẪN CHẤM Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài Nội dung cần đạt Điểm 1 1. Cho hai số a, b thỏa mãn a b9; ab 14. Chứng minh rằng: (2,0đ) a2 b 22( a 3 b 3 ) 755. Ta có: 0,25 a2 b 2( a b ) 2 2 ab 9 2 2.14 53. a3 b 3( a b ) 3 3 ab ( a b ) 9 3 3.14.9 351 0,25 2(a3 b 3 ) 2.351 702. 0,25 Vậy: a2 b 22( a 3 b 3 ) 53 702 755. 0,25 2. Tìm một đa thức bậc ba, biết P(x) chia cho x 1 , x 2 , x 3 đều được dư 6 và P 1 18 . Theo định lí Bézout ta có: P 1 P 2 P 3 6. 0,25 Do đó ta đặt Pxdcx 1 bx 1 x 2 ax 1 x 2 x 3 Cho x 1 ta được P 1 d , suy ra d 6 Px 6 cx 1 bx 1 x 2 ax 1 x 2 x 3 Cho x 2 ta được P 2 6 c , suy ra c 0 0,25 Px 6 0 x 1 bx 1 x 2 ax 1 x 2 x 3 Cho x 3 ta được P 3 6 2 b , suy ra b 0 0,25 Px 6 0 x 1 0 xx 1 2 axxx 1 2 3 Do đó Px 6 ax 1 x 2 x 3 Cho x 1 ta được P 1 6 24 a , do đó 18 6 24a suy ra 0,25 a 1. Vậy Px 6 1. xx 1 2 x 3 Rút gọn ta được: Pxx 36 x 2 11 x . 1. Giả sử p và q là các số nguyên tố thỏa mãn đẳng thức p( p 1) q ( q2 1). 2 Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương k sao cho p 1 kq ; q 1 kp . 0,25 2 p q 0 Nếu p q thì ta có p 1 q 1 , điều này vô lí vì p, q p q 1 là các số nguyên tố. Do đó p q , khi đó do p, q là các số nguyên tố nên 0,25 (p 1) q ; ( q2 1)  p . Như vậy tồn tại các số nguyên dương m, n thỏa mãn 0,25 p 1 mq ; q2 1 np .
3. Thay vào đẳng thức đã cho ta được p mq q np m n p 1 kq 0,25 Vậy tồn tại số nguyên dương k( m n ) sao cho . 2 2 (2,0đ) q 1 kp Giải phương trình nghiệm nguyên: 2xx2 4 19 3 y 2 . Biến đổi phương trình đã cho ta được : 0,25 2xx2 4 19 3 y 2 2( x 1) 2 3 y 2 21 Suy ra : 3y2 21 y 2 7 y 2 0;1;4 . 0,25 Với y2 0 2( x 1) 2 21.PT không có nghiệm nguyên. 0,25 2 2 2 x 1 3 x 4 Với y 1 2( x 1) 18 ( x 1) 9 x 1 3 y 2 x 4 y 1; x 2 y 1 Ta được (x ; y ) ( 2;1);( 2; 1);(4;1);(4; 1) . Với y2 4 2( x 1) 2 9.PT không có nghiệm nguyên. 0,25 Vậy PT đã cho có các nghiệm nguyên (;x y ) là: ( 2;1);( 2; 1);(4;1);(4; 1) 5 Giải phương trình: x2 4x 1 0. x2 4x 5 2 2 0,25 ĐKXĐ: x do xxx 4 5 2  10 x . Đặt x2 4 x 5 y thì y 1 và xx2 4 1 y 4. 0,25 Phương trình đã cho trở thành: y 5 0,25 5 2 y40 5 yy 4 0 yy 5 1 0 y y 1 loaïi 3 (2,0đ) 2 x 0 0,25 Với y 5 ta có xx 4 5 5 xx 4 0 x 4 Vậy PT đã cho có tập nghiệm là: S 0;4 . Cho abc,, là các số thực dương. Chứng minh rằng: a2 b 2 c 2 1 (a b c ) 3814a2 b 2 ab 3814 b 2 c 2 bc 3814 c 2 a 2 ca 5 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 0,25 1 3a2 8 b 2 14 ab ( a 4)(3 b a 2) b (4 a 6)2 b a 3 b 2 Tương tự ta có: 0,25
4. 3b2 8 c 2 14 bc 2 b 3 c ; 3 c 2 8 a 2 14 ca 2 c 3 a . Do đó: 0,25 a2 b 2 c 2 2 2 2 2 2 2 3a 8 b 14 ab 3 b 8 c 14 bc 3 c 8 a 14 ca a2 b 2 c 2 (1) 2a 3 b 2 b 3 c 2 c 3 a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: 0,25 a2 b 2 c 2( abc ) 2 1 (a b c ) (2) 2323232323235abbccaabbcca Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a b c. Cho hình vuông ABCD,trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE AF . Vẽ AH vuông góc với BF ( H thuộc BF ), đường thẳng AH cắt các đường thẳng DC và BC lần lượt tại hai điểm M và N. 1. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật. 2. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH.Chứng minh rằng : AC 2 EF . 1 1 1 3. Chứng minh rằng : . AD2 AM 2 AN 2 A E B H F D C M 4 (3,0đ) N a) Ta có: MAD ABF (cùng phụ với BAH ) 0 AB AD( gt ); BAF ADM 90 (ABCD là hình vuông) 0,25 ADM BAF g c g DM AF,mà AF AE( gt ) nên AE DM 0,25 Lại có: AE// DM (vì AB// DC ) 0,25 Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành .
5. Mặt khác DAE 900 ( gt ) 0,25 Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật b) Ta có ABH# FAH( g . g ) 0,25 AB BH BC BH hay AB BCAE; AF AF AH AE AH Lại có: HAB HBC (cùng phụ với ABH ) 0,25 CBH# AEH(. cgc .) 2 2 0,25 SCBH BC SCBH BC 2 2 , mà 4(gt ) 4 BC 2 AE SEAH AE SEAH AE BC 2 AE E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD 0,25 Do đó: BD 2 EF hay AC 2 EF . c) Do AD/ / CN ( gt ).Áp dụng hệ quả của định lí Ta-let ta có: 0,25 AD AM AD CN CN MN AM MN Lại có: MC//. AB gt Áp dụng hệ quả của định lí Ta-let ta có: 0,25 MN MC AB MC AD MC hay AN AB AN MN AN MN 2 2 2 2 AD AD CN CM CN2 CM 2 MN 2 0,25 2 2 1 AM AN MN MN MN MN 2 2 AD AD 1 1 1 0,25 12 2 2 ()dfcm AM AN AM AN AD Một giải bóng chuyền có 9 đội bóng tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt (hai đội bất kỳ chỉ thi đấu với nhau 1 trận). Biết đội thứ nhất thắng a1 trận và thuab1 trận, đội thứ 2 thắng a2 trận và thua b2 trận, ., đội thứ 9 thắng a9 trận và thua b9 trận. 2 2 2 2 2 2 2 2 5 Chứng minh rằng a1 a 2 a 3 a 9 b 1 b 2 b 3 b 9 . (1,0đ) Mỗi đội bóng thi đấu với 8 đội bóng khác và hai đội bất kỳ chỉ gặp nhau 0,25 1 trận nên mỗi đôi sẽ thi đấu 8 trận ai b i 8 (với i = 1;2;3; ;8) Đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 0,25 a2 a 2 a 2 a 2 8 a 2 8 a 2 8 a 2 8 a 2 1 2 3 9 1 2 3 9 16 a1 a 2 a 3 a 9 576 (1) Mặt khác, tổng số trận thắng của các đội bằng tổng số trận đấu nên : 0,25 9.8 a a a a 36 (2) 1 2 3 9 2 Từ (1) và (2) suy ra đẳng thức cần chứng minh luôn đúng. 0,25 2 2 2 2 2 2 2 2 Vậy a1 a 2 a 3 a 9 b 1 b 2 b 3 b 9 . * Chú ý: + Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. + Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25 điểm.