Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Bình Giang (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Bình Giang (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2022 - 2023 MÔN: TOÁN - LỚP 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (Đề bài gồm 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm). 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x5 + x3 + x. 2) Cho đa thức P x x4 x3 x2 ax b và Q x x2 x 2 . Tìm a và b để đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x). Câu 2 (2,0 điểm). 1 x3 x 1 1 1) Cho biểu thức: B 2 . 2 2 . Tìm x để biểu thức x 1 x 1 x 2x 1 x 1 B xác định rồi rút gọn biểu thức. 2) Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên a, b thì M a3b ab3 chia hết cho 6 Câu 3 (2,0 điểm).Giải các phương trình sau: 1) 2x 3 x 1 2) x2 3x 3 x2 2x 3 2x2 Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, 3 đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H 1) Chứng minh: Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC 2) Gọi K là giao điểm của AD và EF. Chứng minh: H là giao điểm 3 đường phân giác trong tam giác DEF và HK.AD = AK. DH 3) Giả sử SAEF = SBFD = SCDE . Chứng minh tam giác ABC đều. Câu 5 (1,0 điểm). 1 1 4 a) Chứng minh với x, y là các số dương x y x y b) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 a b c b c a c a b a b c Hết Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh
2. PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 - 2023 MÔN: TOÁN - LỚP 8 (Đề kiểm tra gồm 03 trang) Câu 1 Hướng dẫn giải Điểm x5 + x3 + x = x(x4 + x2 + 1) 0,5 1 (1 điểm) = x(x2 + x + 1) (x2 - x + 1) 0.5 2 P 1 0 (1 điểm) Q x x 1 x 2 p x Q x 0.5 P 2 0 a b 1 a 1 0.5 2a b 4 b 2 Câu 2 1 x3 x 1 1 Ta có . 1(1 điểm) B 2 . 2 2 x 1 x 1 x 2x 1 x 1 x 1 0.25 ĐK: x 1 Khi đó: 0.25 1 x3 x 1 1 B 2 . 2 2 x 1 x 1 x 2x 1 x 1 1 2x x 1 x2 1 x 1 x 1 2 0.25 x 1 x2 1 x 1 0.25 x2 1 2(1 điểm) M a3b ab3 b(a3 a) a(b3 b) 0,25 M b.a.(a 1)(a 1) a.b(b 1)(b 1) 0.25 Vì a(a + 1)(a -1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên a(a + 1)(a -1) chia hết cho 0,25 6 (a, b là các số nguyên) Tương tự b(b + 1)(b - 1) chia hết cho 6 M b.a.(a 1)(a 1) a.b(b 1)(b 1) chia hết cho 6. Từ đó suy ra 0,25 M a3b ab3 chia hết cho 6 Bài 3 1) 2x 3 x 1 (*) 1 Điều kiện: (1đ) 0.25 1 x 0 x 1
3. Khi đó (*) 2x 3 1 x 0,25 2x 3 x 1 4 0,25 x (loai) 3 x 2 (loai) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 0,25 3.2 2 2 2 (1 điểm) x 3x 3 x 2x 3 2x 0.25 x2 2,5x 3 0,5x x2 2,5x 3 0,5x 2x2 2 x2 2,5x 3 0,5x 2 2x2 2 x2 2,5x 3 1,5x 2 0 x2 4x 3 x2 x 3 0 0.25 x2 4x 3 0 (1) 2 x x 3 0 (2) Giải (1) ta được x = 1; x = 3 0.25 Giải (2) vô nghiệm 0.25 Kết luận Câu 4 A 1 E K F H C B D AE AF 0.5 AB AC Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (c.g.c) 0.5 2 EH là tia phân giác góc KED 0.25 Xét tam giác KED có EH là tia phân giác góc KED 0.25 HK EK (1) HD ED Xét tam giác KED có EH là tia phân giác góc KED mà EA vuông góc với EH 0.25  EA là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh E
4. AK EK (2) AD ED Từ (1) và (2), ta có: 0.25 HK AK HK.AD AK.HD HD AD 3 Vì tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC 0.25 2 SAEF AE (3) SABC AB Vì tam giác BDF đồng dạng với tam giác BAC 2 SDBF DB (4) SABC AB Từ (3) và (4) ta có AE = BD 0.25 Tam giác AEB = tam giác BDA (cạnh huyền – cangh góc vuông) 0.25  Góc BAC = góc ABC Tương tự ta có góc BAC = góc ACB 0.25 Do đó ABC là tam giác đều. Câu 5 Giả sử 0.25 Ý a 1 1 4 x, y 0 x y x y x y 2 0 xy(x y) Dấu “ = “ xảy ra khi x = y. Theo câu a, ta có: 0.25 1 1 4 2 (1) a b c b c a 2b b 1 1 4 2 (2) b c a c a b 2c c 1 1 4 2 (3) a b c c a b 2a a Từ (1); (2) và (3), ta có: 0.25 1 1 1 2 2 2 2 0.25 a b c b c a c a b a b c 1 1 1 1 1 1 0.25 a b c b c a c a b a b c Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c hay tam giác đã cho là tam giác đều. Chú ý * Khi chấm giám khảo có thể chia nhỏ biểu biểu . * Học sinh làm bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.