Đề thi chọn học sinh giỏi cấp THCS Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Gia Viễn (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp THCS Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Gia Viễn (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 8 THCS HUYỆN GIA VIỄN NĂM HỌC 2022-2023 Môn: Toán Ngày thi: 30/3/2023 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề) Họ và tên thí sinh : Số báo danh Họ và tên, chữ ký: Giám thị thứ nhất: Giám thị thứ hai: Câu 1 (4,5 điểm) æ2x2 + x- 6 1 2 ö æ x2 - 6ö Cho biểu thức A = ç + - ÷:çx + 2+ ÷ với x 2. èç x2 - 4 x- 2 x + 2ø÷ èç 2- x ø÷ a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của x để A nhận giá trị âm. c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên. Câu 2 (4,0 điểm) 2 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x y z y2 2yz z2. 2023 b) Cho 3 số nguyên dương a1;a2;a3 có tổng bằng 2022 . Chứng minh rằng: 3 3 3 a1 a2 a3 chia hết cho 3. Câu 3 (4,5 điểm) 1 1 1 3 a) Giải các phương trình sau: . x2 7x 12 x2 9x 20 x2 11x 30 2 y 5y 4x b) Tính giá trị của biểu thức: B . Biết 2x y 6. x 3 x 5 c) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn: x2 5y2 4xy 2023. Câu 4 (5,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A (góc A nhọn), đường cao AH cắt tia phân giác BD tại điểm I. Gọi M là hình chiếu của điểm H trên cạnh AC, K là trung điểm của HM. AH HM a) Chứng minh . HC CM b) Chứng minh AK vuông góc với BM. c) Biết AI = 5cm, HI = 4cm. Tính độ dài cạnh BC. Câu 5 (2,0 điểm) a) Xét hình chữ nhật kích thước 3cm x 4 cm. Chứng minh rằng với 7 điểm bất kì nằm trong hình chữ nhật, luôn có thể chọn ra hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 3. b) Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 1; y > 1 và x y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất 2 æ ö2 æ 1 ö ç 1 ÷ của biểu thức P = çx + 1+ ÷ + çy - 1+ ÷ . èç x + 1ø÷ èç y - 1ø÷ Hết. Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HUYỆN GIA VIỄN ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2022-2023 Môn: Toán Ngày thi 30/3/2023 (Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang) Câu Đáp án Điểm a) (2,0 điểm) æ2x2 + x- 6 1 2 ö æ x2 - 6ö A = ç + - ÷:çx + 2+ ÷ với x 2. ç 2 ÷ ç ÷ èç x - 4 x- 2 x + 2ø÷ èç 2- x ø÷ æ 2 + - + 2(x- 2) ö æ 2 - 2 - ö ç 2x x 6 x 2 ÷ çx 4 x 6÷ 0,5 A = ç + - ÷:ç - ÷ èç(x- 2)(x + 2) (x- 2)(x + 2) (x- 2)(x + 2)ø÷ èç x- 2 x- 2 ø÷ 2x2 2 A = : 0,75 (x- 2)(x + 2) x- 2 2x2 x- 2 x2 A = . = 0,75 (x- 2)(x + 2) 2 x + 2 b) (1,5 điểm) Câu 1 x2 x2 Ta có: A = ( x 2) < 0 4,5 điểm) x + 2 nhận giá trị âm thì A < 0 nên x + 2 0,5 x 2 0 (vì x2 0 với mọi x 2 ) x 2 (thỏa mãn đk) 0,75 Vậy x 2 thì A nhận giá trị âm. 0,25 c) (1,5 điểm) x2 x2 - 4 4 4 0,5 Ta có: A = = + = x- 2+ với x Z, x 2. x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 4 Î Z Þ x + 2 Î Ư(4) 0,25 Để A nhận giá trị là số nguyên thì x + 2 Þ x + 2 Î {1;- 1;2;- 2;4;- 4} Þ x Î {- 1;- 3;0;- 4;2;- 6} 0,5 x Z, x 2 x 1; 3;0; 4; 6 0,25  Vậy x 1; 3;0; 4; 6 thì A nhận giá trị là số nguyên. a) (2,0 điểm) x y z 2 y2 2yz z2 1,0 x y z 2 y2 2yz z2 x y z 2 y z 2 x y z y z x y z y z 0,5 x 2z x 2y 0,5 Câu 2 b) (2,0 điểm) (4,0 điểm) 2023 2023 Ta có: 2022 3; a1 a2 a3 2022 nên a1 a2 a3 M3. 0,5 Với n Z thì n3 n n n2 1 n 1 n n 1 M3 n3 nM3 0,5 (vì n – 1; n; n + 1 là ba số nguyên liên tiếp nên tích chia hết cho 3).
3. 3 M 3 M 3 M Do đó: a1 a1 3; a2 a2 3; a3 a3 3 3 3 3 M 3 3 3 M a1 a1 a2 a2 a3 a3 3. a1 a2 a3 a1 a2 a3 3 0,5 3 3 3 Mà a1 a2 a3 M3 nên a1 a2 a3 M3. 0,5 a) (1,5 điểm) 1 1 1 3 . (1) 0,25 x2 7x 12 x2 9x 20 x2 11x 30 2 ĐK: x 3; x 4; x 5; x 6 (1) 0,25 1 1 1 1 1 1 3 . x 3 x 4 x 4 x 5 x 5 x 6 2 1 1 3 3 3 0,5 x 3 x 6 2 x 3 x 6 2 x 3 x 6 2 x2 9x 20 0 x 4 (x 5) 0 0,25 x 4 (không tmđk). Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 0,25 x 5 b) (1,5 điểm) y 5y 4x Ta có: B . ( x 3; x 5); 2x y 6 y 2x 6 . x 3 x 5 Câu 3 0,5 (4,5 điểm) 2x 6 5. 2x 6 4x Khi đó: B . x 3 x 5 2 x 3 6x 30 6 x 5 B 2 2 6 8. 1,0 x 3 x 5 x 5 c) (1,5 điểm) Ta có: x2 5y2 4xy 2023. (1) (x,y Z) x 2y 2 y2 2023. 0,25 Với n Z thì n  0;1;2;3 (mod 4) n2  0;1(mod 4) 2 Vậy x,y Z thì x 2y  0;1 (mod 4) và y2  0;1 (mod 4) 0,5 2 nên x 2y y2  0;1;2 (mod 4)mà 2023  3 (mod 4) 0,5 Do đó, phương trình x 2y 2 y2 2023, không có nghiệm nguyên. 0,25 Vậy không có số nguyên x, y nào thỏa mãn yêu cầu đề bài.
4. a) (2,0 điểm) AH HM Chứng minh AHM ∽ HCM (g-g) 2,0 HC CM b) 1,5 điểm) Gọi N, P lần lượt là giao điểm của BM và AH, AK. Câu 4: AH HM AH HK (5,0 điểm) - Ta có: mà HM = 2HK, BC = 2CH nên 0,5 HC CM BC CM ∽ µ µ - Chứng minh AHK BMC (c-g-c) A1 B1 0,5 - Chứng minh NAP ∽ NBH (g-g) 0,5 A· PN B·HN , mà B·HN 900 A· PN 900 AK  BM c) (1,5 điểm) Ta có: AH = AI + HI = 5 + 4 = 9 (cm) Vì BD là tia phân giác của ABC nên 0,5 BH HI 4 5 BI là tia phân giác của ABH AB .BH AB AI 5 4 Xét ABH vuông tại H, có: AH 2 BH 2 AB2 2 2 2 5 9 BH .BH BH 12 (cm) 0,5 4 ABC cân tại A, có BC = 2.BH = 2.12 = 24 (cm) 0,5 a) (1,0 điểm) Câu 5 0,25 (2,0 điểm) Chia hình chữ nhật kích thước 3cm x4 cm thành 6 hình chữ nhật nhật kích thước 1 cm x 2 cm (hình vẽ).
5. Theo nguyên lý Dirichlet, trong 7 điểm bất kì nằm trong hình chữ nhật kích thước 3cm x4 cm (hay nằm trong 6 hình chữ nhật nhật kích thước 1 cm x 2 cm) thì luôn tồn tại 2 điểm cùng thuộc một chữ nhật nhật kích 0,5 thước 1 cm x 2 cm và khoảng cách giữa hai điểm này luôn nhỏ hơn độ dài đường chéo AC = 12 22 5 3. Vậy với 7 điểm bất kì nằm trong hình chữ nhật kích thước 3cm x4 cm, 0,25 luôn có thể chọn ra hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 3. b) (1,0 điểm) x 1; y > 1 thì x 1 0; y - 1 0 ; x y = 1 x 1 y 1 1 Đặt x 1 a; y 1 b a,b 0 a b 1 2 0,25 2 æ ö 2 2 æ 1 ö ç 1 ÷ æ 1ö æ 1ö P = çx + 1+ ÷ + çy - 1+ ÷ = ça + ÷ + çb + ÷ èç x + 1ø÷ èç y - 1÷ø èç aø÷ èç bø÷ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, có: 0,25 éæ 1ö2 æ 1ö2 ù æ 1 1ö2 êça + ÷ + çb + ÷ ú.(12 + 12 )³ ça + b + + ÷ êèç ø÷ èç ø÷ ú èç ø÷ ëê a b ûú a b 1 1 4 2 25 0,25 Mà a,b 0, a b 1, + ³ = 4 nên Þ 2.P ³ (1+ 4) Þ P ³ a b a + b 2 1 - 1 3 Dấu “=” xảy ra khi a = b = Þ x = ; y = . 2 2 2 25 - 1 3 0,25 Vậy P = khi x = ; y = . min 2 2 2 Lưu ý: - Lời giải chỉ trình bày tóm tắt, học sinh trình bày hoàn chỉnh, lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa. - Học sinh có thể trình bày nhiều cách giải khác nhau nếu đúng thì cho điểm tương ứng./.