Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Kỳ Anh (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Kỳ Anh (Có hướng dẫn chấm)

1. UBND HUYỆN KỲ ANH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2022 - 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán 8 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) PHẦN I. Thí sinh ghi kết quả vào bài làm. 4 2 Bài 1: Giải phương trình: x 2x 8 0 Giá mở cữa Giá cước các Giá cước từ Bài 2. Bảng giá cước Taxi Mai Linh như sau: (0,6 km) km tiếp theo km thứ 31 5000 đồng 15000 đồng 12000 đồng Tính số tiền phải trả nếu đi quảng đường dài 60 km. 2 x2 y2 x2 y2 x y Bài 3. Rút gọn biểu thức: P 2 2  2 2 x x xy xy xy y x xy y Bài 4. Khi chia đa thức f(x) cho các đa thức x 2 và x 3 thì được dư lần lượt là 5 và 7. Nếu chia đa thức f(x) cho x2 5x 6 thì được thương là x2 1. Tìm đa thức f(x)? Bài 5. Cho dãy số viết theo quy luật như sau: 5; 7; 11; 19; . Viết biểu thức biểu diễn số hạng thứ n của dãy số trên? Bài 6. Cho các số dương a, b thỏa mãn a3 b3 6ab 8. Tính giá trị của biểu thức: C a5 b4 3 Bài 7. Xã A tổ chức giải giao hữu bóng đá theo hình thức thi đấu vòng tròn một lượt. Mỗi trận đấu, đội thắng được tính 3 điểm, đội hòa được tính 1 điểm và đội thua không có điểm nào. Kết thúc giải, Ban tổ chức nhận thấy số trận thắng gấp ba số trận hòa và tổng số điểm của các đội là 330 điểm. Hỏi có tất cả bao nhiêu đội tham gia? Bài 8. Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: x2 xy 2021x 2022y 2023 0 Bài 9. Mảnh vườn có dạng hình thang biết độ dài hai đáy lần lượt là 5m, 15m và độ dài hai đường chéo lần lượt là 16m và 12m. Tính diện tích mảnh vườn trên? Bài 10. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Đường thẳng bất kỳ đi qua trọng tâm G cắt AB AC các cạnh AB và AC thứ tự tại E và F. Tính giá trị của biểu thức AE AF PHẦN II. Thí sinh trình bày lời giải vào bài làm. Bài 11. 2 2 2 a) Giải phương trình: x -3x+3 x -2x+3 2x b) Cho x,y thõa mãn: y2 2x y 3 9 và y 3. 2x2 x y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B x2 Bài 12. Cho tam giác ABC có AB <AC, đường phân giác AD. Gọi I trung điểm của AD Đường trung trực của AD cắt BC ở K. a) Chứng minh: KA2 KB  KC b) Chứng minh: AD2 =ABAC - DBDC c) Vẽ hình bình hành ABKM. Chứng minh rằng: SAIBK= SIMK Bài 13. Cho a, b, c là các số thực dương và có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 5b3 a3 5c3 b3 5a3 c3 1 3b2 ab 3c2 bc 3a2 ca Hết Họ và tên: .; SBD: .
2. HƯỚNG DẪN CHẤM HSG TOÁN 8 PHẦN 1. Mỗi câu đúng cho 1 điểm Bài Bài 1 Bài 2 Bài 3 Bài 4 Bài 5 x y 3 2n Đáp án x=2; x=-2 806000 đồng x4 5x3 5x2 7x 5 xy Bài Bài 6 Bài 7 Bài 8 Bài 9 Bài 10 (2023; 2023); Đáp án 19 16 96m2 3 (2021; 2023) Sơ lược giải 2 Bài 1. x4 2x2 8 0 x4 2x2 1 9 0 x2 1 32 0 2 x 2 x 2 x 2 x 2 0 x 2 Bài 2: Số tiền phải trả: 5000 15000  30 0,6 12000 30 5000 441000 360000 806000 (đồng) 2 x2 y (y2 x2 )(x y) xy2 x y Bài 3: P . 2 2 x xy(x y) xy(x y) xy(x y) x xy y 2 xy(x y) (x y)(x y)2 x y . x xy(x y) x2 xy y2 2 (x y)(x2 xy y2 ) x y 2 x y x y . x xy(x y) x2 xy y2 x xy xy Bài 4: f(x) chia cho x2 5x 6 dư nếu có là đa thức bậc nhất. Đặt: f(x) = x2 5x 6 x2 1 ax b Khi đó: f(2) = 5 2a + b = 5; f(3) = 7 3a + b = 7 Ta tìm được: a = 2, b = 1 Vậy đa thức cần tìm là f(x) = x2 5x 6 x2 1 2x 1 x4 5x3 5x2 7x 5 Bài 5. : 5 3 21;7 3 22;11 3 23;19 3 24; biểu thức biểu diễn số hạng thứ n của dãy số trên là 3 2n Bài 6. a3 b3 6ab 8 a3 b3 23 3.a.b.2 1 2 2 2 a b 2 a b b 2 2 a 0 a b 2 2 (do a, b là các số dương a b 2 0) Với a = b =2 thì: C 25 24 3 19 Bài 7: Gọi số trận hòa là x, số trận thắng thua là 3x. Mỗi trận hòa mỗi đội được 1 điểm, nên mỗi trận hòa có 2 điểm; mỗi trận thắng thua được 3 điểm nên ta có: 3.3x + 2.x = 330.
3. Ta tìm được x = 30. Vậy số trận hòa là 30, số trận thắng thua là 90, tổng cộng có 120 trận. n 1 n Có n đội tham gia thi đấu vòng tròn một lượt nên có trận đấu 2 n 1 n Do đó ta có: 120 n 16 2 Bài 8. x2 xy 2021x 2022y 2023 0 x2 xy x 2022x 2022y 2022 1 x x y 1 2022 x y 1 1 x 2022 x y 1 1 Ta tìm được các cặp số nguyên (x; y) là: (2023; 2023); (2021; 2023) Bài 9. Lấy điểm E trên tia DC sao cho BE//AC. Khi đó ABEC là hình bình hành nên BE = AC = 16m, CE = AB = 5m, từ đó DE = 20m Vì BD2 BE 2 DE 2 nên tam giác DBE vuông BH BD BE  BD 1612 HDB : BDE BH 9,6 BE DE DE 20 5 15 .9,6 Diện tích hình thang ABCD: 96 (m2) 2 Bài 10. Kẻ BL//EF, CK//EF . Ta có: AB AI AC AK AB AC AI AK AI AK ; AE AG AF AG AE AF AG AG AG Mà AI + AK = AM - MI + AM + MK = 2AM (do MI = MK) AB AC AI AK 2AM 2AM Do đó: 3 2 AE AF AG AG AM 3 PHẦN II. Tự luận Bài Nội dung Điểm Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, nên ta chia hai 2 3 3 vế của phương trình cho x ta được: x 3 x 2 2 x x 3 Đặt a x ta có: a - 3 a-2 =2 a 2 -5a 4 0 a-1 a-4 0 1,5 x 11a) 2 3 2 1 11 3 điểm +) Với a = 1: x 1 x x 3 0 x 0 vô nghiệm x 2 4 +) Với a = 4: 3 x 4 x2 4x 3 0 x 1 x 3 0 x 1; x 3 x Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 1 và x = 3 1,5 y2 2x(y 3) 9 y2 2xy x2 x2 6x 9 0 2 2 11b) y x x 3 0 y 3 y 2x 3 0 y 2x 3 0,5 2 điểm Vì y 3 y 3 0 Thay vào biểu thức ta được:
4. 2x2 x 2x 3 1 1 2 1 1 1 15 B 2 2 x2 x x2 x2 2x 16 8 2 1 1 15 15 2 x 4 8 8 15 B khi x 4 y 5 (thõa mãn) 8 1,5 15 Vậy B nhận giá trị nhỏ nhất bằng khi x=4 8 a) Ta có: K· AB B· AD K· AD K· DA (Vì tam giác KAD cân tại A) K· DA D· AC Cµ 12a) (t/c góc ngoài của tam giác) 2 2 điểm K· AB B· AD D· AC Cµ Mà B· AD D· AC (AD là phân giác) K· AB Cµ KAB : KCA KA KB KA2 KB  KC KC KA b) Kẻ tia Bx cắt AD tại E sao cho: ·ABE ·ADC Hai ABE và ADC có: ·ABE ·ADC và B· AE D· AC AB AE ABE : ADC AD AC 12b) AB  AC AE  AD(1) 1 1 điểm Hai ACD và BED có: B· ED ·ACD (vì ABE : ADC ); B· DE ·ADC (đối đỉnh) AD DC ACD ~ BED DB  DC AD  DE(2) DB DE Trừ vế theo vế của (1) cho (2) ta có: ABAC-BDDC=AD AE -DE AD2 Hay AD2 =ABAC - DBDC c) Kẻ IP  MK IP  AB . Gọi Q là giao của IP và AB SAIBK SABK SABI 1 12c) S S 2 ABKM ABI 1 1 điểm 1 1 PQ  KM IQ  AB 2 2 1 1 KM  PQ IQ KM  IP S 2 2 IMK 13 Bài 13. Cho a, b, c là các số thực dương và có tổng bằng 1. 1 1 điểm
5. 5b3 a3 5c3 b3 5a3 c3 Chứng minh rằng: 1 3b2 ab 3c2 bc 3a2 ca Ta có: a b 2 0 a2 ab b2 ab a b a2 ab b2 ab a b a3 b3 ab a b a3 6b3 5b3 ab a b 5b3 a3 6b3 ab a b 5b3 a3 6b3 ab2 a2b 5b3 a3 2b a 3b2 ab 5b3 a3 2b a(1) 3b2 ab 5c3 b3 5a3 c3 Tương tự 2c b(2); 2a c(3) 3c2 bc 3a2 ca Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được 5b3 a3 5c3 b3 5a3 c3 2b a 2c b 2a c a b c 1 3b2 ab 3c2 bc 3a2 ca Lưu ý: Mọi cách giải đúng đều cho điểm tối đa.