Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án)

1. ĐỀ THI SỐ 1 Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1). Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : 2423 xxxxx 22 A () : () 2422 xxxxx223 a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị của x để A > 0? c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4. Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. xyz abc xyz222 b) Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng : 1. abc xyz abc222 Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Điểm Bài 1 a 2,0 3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 = 1,0 = 3x(x -2) – (x - 2) 0,5 = (x - 2)(3x - 1). 0,5 b 2,0 a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 1,0 1
2. = ax(x - a) – (x - a) = 0,5 = (x - a)(ax - 1). 0,5 Bài 2: 5,0 a 3,0 ĐKXĐ : 20 x 2 xx 4 0 0 1,0 2 xx 0 2 2 x 3 xx 30 23 20xx 2423(2)4(2)(2) xxxxxxxxxx222222 A () : (). 1,0 2422(2)(2)(3) xxxxxxxx223 x 48(2)xxxx2 . 0,5 (2)(2)3 xxx 4(2)(2)4xxxxx 2 0,25 (2)(2)(3)3 xxxx 4x2 Vậy với xxx 0,2,3 thì A . 0,25 x 3 b 1,0 4x2 Với xxxA 0,3,2 :00 0,25 x 3 x 30 0,25 xTMDKXD3() 0,25 Vậy với x > 3 thì A > 0. 0,25 c 1,0 x 74 x 74 0,5 x 74 xTMDKXD 11() 0,25 xKTMDKXD 3() 121 Với x = 11 thì A = 0,25 2 Bài 3 5,0 a 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0 (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 1,0 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) 0,5 Do : (x 1)2 0;( y 3) 2 0;( z 1) 2 0 0,5 Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1 0,25 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). 0,25 b 2,5 2
3. abc ayz+bxz+cxy Từ : 00 0,5 xyzxyz ayz + bxz + cxy = 0 0,25 xyzxyz Ta có : 1()1 2 0,5 abcabc xyzxyxzyz222 2()1 0,5 abcabacbc222 xyzcxybxzayz222 21 0,5 abcabc222 xyz222 1()dfcm 0,25 abc222 Bài 4 6,0 H C B 0,25 F O E A K D a 2,0 Ta có : BE  AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF 0,5 Chứng minh : BEODFOgcg () 0,5 => BE = DF 0,25 Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. 0,25 b 2,0 Ta có: ABCADCHBCKDC 0,5 Chứng minh : CBHCDK gg () 1,0 CH CK CH CD CK CB 0,5 CB CD b, 1,75 Chứng minh : AFD AKC ( g g ) 0,25 AF AK AD.A AKF . AC 0,25 ADAC Chứng minh : CFD AHC() g g 0,25 CF AH 0,25 CD AC 3
4. CFAH Mà : CD = AB ABAHCFAC 0,5 ABAC Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 0,25 (đfcm). ĐỀ SỐ 2 Câu1. a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số: x 4 4 x 2 x 3 x 4 x 5 24 b. Giải phương trình: x 4230x 31x 30 0 abc abc222 c. Cho 1. Chứng minh rằng: 0 bccaab bccaab x2110x 2 Câu2. ho biểu thức: C A:x2 2 x42xx2x2 a. Rút gọn biểu thức A. 1 b. Tính giá trị của A , Biết x = . 2 c. Tìm giá trị của x để A 2 x x 1 x 5 x 6 0 (*) (2 điểm) 4
5. 1 3 Vì x2 - x + 1 = (x - )2 + > 0 x 2 4  (*) (x - 5)(x + 6) = 0 x50x5  x60x6 a b c c. Nhân cả 2 vế của: 1 b c c a a b với a + b + c; rút gọn đpcm (2 điểm) x2110x 2 Biểu thức: A:x2 2 x42xx2x2 1 a. Rút gọn được kq: A x2 (1.5 điểm) 1 1 1 Câu 2 b. x x hoặc x (6 điểm) 2 2 2 4 4 A hoặc A 3 5 (1.5 điểm) c. A0x2 (1.5 điểm) 1 d. AZZ x1;3  (1.5 điểm) x2 E HV + GT + KL A B (1 điểm) F M a. Chứng minh: AE FM DF Câu 3 D C (6 điểm) AEDDFC đpcm (2 điểm) b. DE, BF, CM là ba đường cao của EFC đpcm (2 điểm) c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi ME MF a không đổi SAEMF ME.MF lớn nhất MEMF (AEMF là hình vuông) M là trung điểm của BD. (1 điểm) 5
6. 1 b c 1 a a a 1 a c a. Từ: a + b + c = 1 1 b b b 1 a b 1 c c c (1 điểm) Câu 4: 111abacbc (2 điểm) 3 abcbacacb 32229 1 Dấu bằng xảy ra a = b = c = 3 b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002  (a+ b) – ab = 1  (a – 1).(b – 1) = 0  a = 1 hoÆc b = 1 (1 điểm) Víi a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoÆc b = 0 (lo¹i) Víi b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoÆc a = 0 (lo¹i) VËy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2 ĐỀ THI SỐ 3 Bài 1: (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3. b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010. Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: x 241 x 220 x 195 x 166 10 . 17192123 Bài 3: (3 điểm) Tìm x biết: 22 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 . 2009 x 22 2009 x x 2010 x 2010 49 Bài 4: (3 điểm) 6
7. 2010x2680 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A . x12 Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC. a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông. b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 6: (4 điểm) Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho: AFEBFD,BDFCDE,CEDAEF . a) Chứng minh rằng: B D F B A C . b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD. Một lời giải: Bài 1: a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 = x y z3 x3 y 3 z 3 = yzxyzxyz xxyz 2 yyzz 222 2 = yz3x3xy3yz3zx = 3 yzxxyzxy = 3 x y y z z x . b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = x42 x 2010x 2010x 2010 = xx1x 22 x1 2010x x1 = xx1xx201022 . Bài 2: x 241 x 220 x 195 x 166 10 17192123 x 241x 220x 195x 166 1234 0 17192123 x 258 x 258 x 258 x 258 0 17192123 1 1 1 1 x 258 0 17 19 21 23 x 258 7
8. Bài 3: 22 2009x2009xx2010x2010 19 . 2009x2009xx2010x2010 22 49 ĐKXĐ: x2009;x2010 . Đặt a = x – 2010 (a 0), ta có hệ thức: 2 a 1 a 1 a a 2 19 a2 a 1 19 a 1 2 a 1 a a 2 49 3a2 3a 1 49 49a22 49a 49 57a 57a 19 8a2 8a 30 0 3 a 2 2 2 2a1402a32a50 (thoả ĐK) 5 a 2 4023 4015 Suy ra x = hoặc x = (thoả ĐK) 2 2 Vậy x = và x = là giá trị cần tìm. Bài 4: 2010x2680 A x12 335x335222 335x2010x 3015335(x 3) = 335335 x1x122 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3. Bài 5: o a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì EAF90 ) C Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân giác của B A C. b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF Suy ra 3AD + 4EF = 7AD 3AD + 4EF nhỏ nhất AD nhỏ nhất D D là hình chiếu vuông góc của A lên BC. F Bài 6: a) Đặt AFE BFD,  BDF  CDE, CED AEF . 0 A Ta có BAC   180 (*) E B Qua D, E, F lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, AC, AB cắt nhau tại O. Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF. OFD OED ODF 90o (1) Ta có OFD  OED  ODF 270o (2) 8
9. (1) & (2)   180o ( ) (*) & ( ) B A C B D F . b) Chứng minh tương tự câu a) ta có: B , C  s s AE F s D B F DEC ABC BDBA55BF5BF5BF BDBDBD BFBC8888 CDCA77CE7CE7CE CDCDCD CECB8888 AEAB57AE5AF7(7CE)5(5BF)7CE5BF24 AFAC7 CD B D 3 (3) Ta lại có CD + BD = 8 (4) (3) & (4) BD = 2,5 9