Kỳ thi học sinh giỏi cấp Thành phố Toán Lớp 8 - Năm học 2021-2022 - Phòng GD&ĐT Bắc Ninh (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Kỳ thi học sinh giỏi cấp Thành phố Toán Lớp 8 - Năm học 2021-2022 - Phòng GD&ĐT Bắc Ninh (Có hướng dẫn chấm)

1. UBND THÀNH PHỐ BẮC NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2021-2022 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Môn: Toán - Lớp 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ (Đề thi có 01 trang) Câu 1. (4,0 điểm) xx1 1 2 Cho biểu thức P : . xx11 11xx22 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P . b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên. Với x 2, tìm giá trị nhỏ nhất của P . Câu 2. (4,0 điểm) 1 1 1 1 1) Cho các số a,, b c khác 0 ; a b c ; 2021. Tính giá trị của biểu 2021 a b c 1 1 1 thức: A a2021 b 2021 c 2021 . a2021 b 2021 c 2021 2 2) Giải phương trình x21 3 x x 2 1 2 x 2 0 . Câu 3. (4,0 điểm) 1) Cho hai số nguyên ab, thỏa mãn đồng thời các điều kiện: ab là số nguyên chẵn và 4a22 3 ab 11 b chia hết cho 5 . Chứng minh ab22 chia hết cho 20 . 2) Cho đa thức f x x 2 4 . Giả sử đa thức P x x52 ax b có 5 nghiệm là x1;;; x 2 x 3 x 4; x 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A fxfxfxfxfx1 2 3 4 5 . 3 3) Tìm các số tự nhiên x,, y z khác 0 thỏa mãn x1 y33 2 z 0 và x y z 1 là số nguyên tố. Câu 4. (7,0 điểm) Cho hình vuông ABCD tâm O , lấy M trên đoạn OC , không trùng O . Gọi S là điểm đối xứng với B qua M , đường thẳng BS cắt CD tại L . Gọi E là giao điểm của DM với BC; F là giao điểm của AE và CD, G là giao điểm của DE và BF . Gọi I và K theo thứ tự là giao điểm của AB và CG và DG . Chứng minh rằng: SL DS a) . BL BD b) IE song song với BD . c) AE vuông góc với CG . d) DL BS BD DS . Câu 5. (1,0 điểm) Cho 40 số nguyên dương a1;;; a 2 a 19 và b1; b 2 ; .; b 21 thỏa mãn các điều kiện: 1a1 a 2 a 19 200, 1b1 b 2 b 21 200. Chứng minh rằng tồn tại bốn số ai;;; a j b k b p 1i , j 19;1 k , p 21 sao cho ai a j, b k b p và aj a i b p b k . HẾT
2. UBND THÀNH PHỐ BẮC NINH HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ NĂM HỌC 2021-2022 Môn: Toán - Lớp 8 (Hướng dẫn có 01 trang) ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Câu Đáp án Điểm 1.a. (2,0 điểm) ĐK: xx1; 2 . x1 1 x 2x1 x 1 x 1 x 2 1 1,0 P : x1 1 x1x2 x 2 1 1 x 2 x 2 x 2 xx221 . 1 x 2 xx22 1,0 x 2 Vậy P . x 2 1.b. (2,0 điểm) x 2 4 Px2 xx22 1,0 Vì x nguyên nên để P nguyên thì x 2 là Ư(4) { 1; 2; 4}. Hay x {1;3;0;4; 2;6} (thỏa mãn). 2 xx22x8 x 16 8 x 16 ( 4) Ta lại có P 88 với mọi x 2 . x2 x 2 x 2 1,0 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8 khi và chỉ khi x 4 . 2.1. (2,0 điểm) 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c và 2021 2021 a b c a b c a b c ababcc acbccab2 00ab ab c a b c abc a b c 1,0 ab 0 (a b )( b c )( a c ) 0 b c 0 ac 0 Nếu ab 0 thì A 1. Tương tự với hai trường hợp còn lại cóA 1. 1,0 Vậy . 2.2. (2,0 điểm) 22 x213120 x x 2 x 2 x 2 1 x x 2 12120 x x 2 x 2 1,0 x21 x 2 1 x 2 x x 2 1 x 0 x 2 x 1 x 2 2 x 1 0 2 13 Với x2 x1 0 x 0 (vô nghiệm). 24 1,0 2 Với x2 2x 10 x1 0 x 1.
3. 3.1. (1,0 điểm) Vì ab là số chẵn nên ab chẵn suy ra ab224 (1) 0,5 Vì 4a22 3 ab 11 b 5 và 5a22 5 ab 10 b 5 2 2 2 2 5a 5 ab 10 b 4 a 3 ab 11 b 5 hay (a b )2 5 a b 5 a 2 b 2 5 (2) 0,5 Do 4;5 1 nên từ (1) và (2) suy ra ab2220. 3.2. (2,0 điểm) 52 Vì đa thức P() x x ax b có 5 nghiệm là x1;;;; x 2 x 3 x 4 x 5 Nên Px() xxxxxxxxxx1 2 3 4 5 2 1,0 Ta có f( x ) x 4 ( x 2)( x 2) nên A fxfxfxfxfx1 2 3 4 5 x12 x 1 2 x 2 2 x 2 2 x 3 2 x 3 2 x 4 2 x 4 2 x 5 2 x 5 2 2x1 2 x 2 2 x 3 2 x 4 2 x 5 2 x 1 2 x 2 2 x 3 2 x 4 2 x5 P(2) P ( 2) (32 4 a b )( 32 4 a b ) (4 a b )2 1024 1024 1,0 f x1 f x 2 f x 3 f x 4 f x 5 1024 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 40ab 3.3. (1,0 điểm) (x 1)3 y 3 2 z 3 0 (*) ( x 1) 3 y 3 z 3 3 z 3 3 (1) Ta có (x 1)3 yzxyz 3 3 ( 1) ( x 1) 3 ( x 1) yyzz 3 3 3 (2) 0,5 Từ (1) và (2) suy ra x y z 13 mà x y z 1 là số nguyên tố nên x y z1 3 x y z 4 TH1: x2, y z 1 thỏa mãn (*). TH2: x y1; z 2 không thỏa mãn (*). 0,5 TH3: x z1; y 2 không thỏa mãn (*). Vậy x2, y z 1. 4.a (2,0 điểm) A B I K E G O M 1,0 L D C F H S Do O là trung điểm của BD , M là trung điểm của SB nên OM là đường trung bình của tam giác BDS OM// DS . Mà OM BD DS BD Tam giác BDS vuông tại D . SL DS 1,0 Mà gBDL 45o nên DL là phân giác của tam giác BDL . BL BD
4. 4.b (3,0 điểm) IK KE Ta sẽ chứng minh . Do BK// DF nên theo định lí Ta-lét, ta có: IB ED 1,5 IK IG IB IK CD suy ra (1) CD GC CF IB CF KE BE AB Cũng theo định lí Ta-lét với AK// DF , ta có: (2) ED EC CF IK KE 1,5 Ta lại có AB CD nên từ (1) và (2) suy ra . IB ED Theo định lí đảo Ta-lét ta cóIE// BD . 4.c. (1,0 điểm) Ta có BD AC và IE// BD nên IE AC . Tam giác ACI có CB AI,IE AC nên E là trực tâm của tam giácACI . 1,0 Suy ra AE CG . 4.d (1,0 điểm) Kẻ DH vuông góc BS tại H . Ta có 2.SBDS BD . DS BS . DH (1) Lại có DL DH (quan hệ đường xiên, đường vuông góc) BS DL BS DH (2) 1,0 Từ 1 và 2 suy ra DL BS BD DS . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M trùng C . 5. (1,0 điểm) Xét các tổng có dạng: abmn với m {1;2; ;19} và n {1;2; ;21} Ta thấy có 19.21 399 tổng như vậy và mỗi tổng nhận giá trị nguyên từ 2 đến 400 (có 399 giá trị). 0,5 TH1: Trong 399 tổng trên không có 2 tổng nào bằng nhau thì 399 tổng này sẽ nhận đủ các giá trị từ 2 đến 400 . Suy ra tổng nhỏ nhất bằng 2 và tổng lớn nhất là 400 . Khi đó ab112 và ab19 21 400 suy ra ab111 và ab19 21 200 a19 a 1 b 21 b 1(1) 0,5 TH2: Các tổng trên có ít nhất 2 tổng bằng nhau giả sử là: abik và abip aj b k a i b p a j a i b p b k (2) Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. Chú ý: 1. Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm. 2. Học sinh trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm. Trong trường hợp mà hướng làm của học sinh ra kết quả nhưng đến cuối còn sai sót thì giám khảo trao đổi với tổ chấm để giải quyết. 3. Tổng điểm của bài thi không làm tròn. Hết