Đề cương ôn tập giữa học kì II môn Toán Lớp 8 Sách Cánh diều

Nội dung text: Đề cương ôn tập giữa học kì II môn Toán Lớp 8 Sách Cánh diều

1. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA HỌC KÌ II BỘ SÁCH: CÁNH DIỀU MÔN TOÁN – LỚP 8 PHẦN I. TÓM TẮT NỘI DUNG KIẾN THỨC A. Thống kê và xác suất Chương VI. Một số yếu tố thống kê và xác suất – Thu thập và phân loại dữ liệu. – Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng, biểu đồ. – Phân tích và xử lí dữ liệu thu được ở dạng bảng, biểu đồ. – Xác suất của biến cố ngẫu nhiên trong một số trò chơi đơn giản. – Xác suất thực nghiệm của một biến cố trong một số trò chơi đơn giản. B. Hình học Chương IX. Tam giác đồng dạng. Hình đồng dạng – Định lí Thalès và ứng dụng trong tam giác. – Đường trung bình của tam giác. – Tính chất đường phân giác của tam giác. PHẦN II. MỘT SỐ CÂU HỎI, BÀI TẬP THAM KHẢO A. Bài tập trắc nghiệm Khoanh tròn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng. Câu 1. Hôm nay, lớp bạn Minh trực cổng trường. Bạn Minh ngồi trước cổng trường để ghi lại các bạn học sinh đi học trễ. Hỏi bạn Minh đã thu thập dữ liệu theo phương pháp nào sau đây? A. Từ nguồn có sẵn. B. Quan sát. C. Lập bảng hỏi. D. Phỏng vấn. Câu 2. Trong các phương pháp thu thập dữ liệu sau, phương pháp thu thập nào là trực tiếp? A. Xem tin tức trên ti vi. B. Tìm hiểu thông tin qua sách. C. Tra cứu trên Internet; D. Làm thí nghiệm.
2. Câu 3. Nhân dịp nghỉ hè, gia đình bạn An muốn đi tắm biển ở Đà Nẵng. Trước khi đi Đà Nẵng 1 tuần, bạn An đã vào website của Trung tâm dự báo khí tượng thủy văn quốc gia để tìm hiểu về tình hình thời tiết ở đó. Hỏi bạn An đã dùng phương pháp nào sau đây để thu thập dữ liệu? A. Thu thập dữ liệu gián tiếp. B. Thu thập dữ liệu trực tiếp. C. Phỏng vấn. D. Làm thí nghiệm. Câu 4. Trong các trường hợp sau, trường hợp nào là thu thập dữ liệu gián tiếp? A. Phỏng vấn các bạn học sinh về tình hình bạo lực học đường. B. Lập phiếu hỏi về các món ăn mà các bạn trong lớp yêu thích. C. Tìm hiểu trên mạng Internet về số ca mắc bệnh COVID-19 ở Việt Nam. D. Làm thí nghiệm để xác định tính chất hóa học của oxygen. Câu 5. Trong các dãy dữ liệu sau đây, dữ liệu nào là số liệu liên tục? A. Số học sinh của mỗi lớp khối 8. B. Tên các bạn tổ 1 của lớp 8A. C. Tuổi nghề của các công nhân trong một phân xưởng. D. Nhiệt độ trung bình (độ C) của các ngày trong năm. Câu 6. Trong các dãy dữ liệu sau đây, dữ liệu nào là số liệu rời rạc? A. Số thành viên trong một gia đình. B. Cân nặng (kg) của các học sinh lớp 8D. C. Kết quả nhảy xa (mét) của 10 vận động viên. D. Lượng mưa trung bình (mm) trong một tháng ở Thành phố Hồ Chí Minh. Câu 7. Kết quả đánh giá mức độ hài lòng của khách hàng về chất lượng dịch vụ của một khách sạn: Hài lòng, Rất hài lòng, Bình thường, Không hài lòng. Hỏi dữ liệu trên là loại dữ liệu nào? A. Dữ liệu không là số, có thể sắp thứ tự. B. Dữ liệu không là số, không thể sắp thứ tự. C. Số liệu rời rạc. D. Số liệu liên tục. Câu 8. Cho bảng thống kê tỉ lệ các loại mẫu vật trong bảo tàng sinh vật của môi trường đại học về những lớp động vật có xương sống: Cá, Lưỡng cư, Bò sát, Chim, Thú.
3. Lớp động vật Tỉ lệ mẫu vật (%) Cá 15% Lưỡng cư 10% Bò sát 20% Chim 25% Thú 30% Tổng 101% Giá trị chưa hợp lí trong bảng dữ liệu là A. Dữ liệu về tên các lớp động vật. B. Dữ liệu về tỉ lệ mẫu vật. C. Cả A và B đều đúng. D. Cả A và B đều sai. Câu 9. Khi muốn biểu diễn sự thay đổi của một đại lượng theo thời gian ta nên dùng loại biểu đồ nào sau đây? A. Biểu đồ tranh. B. Biểu đồ hình quạt tròn. C. Biểu đồ cột kép. D. Biểu đồ đoạn thẳng. Câu 10. Khi muốn so sánh hai tập dữ liệu khác nhau ta nên dùng loại biểu đồ nào sau đây? A. Biểu đồ tranh. B. Biểu đồ cột. C. Biểu đồ cột kép. D. Biểu đồ đoạn thẳng. Câu 11. Bạn Minh muốn lập biểu đồ về tỉ lệ số học sinh của lớp 8A xếp loại học lực Tốt, Khá, Đạt, Chưa đạt ở cuối học kì I. Hỏi bạn Minh nên sử dụng biểu đồ nào sau đây? A. Biểu đồ tranh. B. Biểu đồ cột. C. Biểu đồ hình quạt tròn. D. Biểu đồ đoạn thẳng. Câu 12. Lựa chọn biểu đồ tranh khi muốn A. so sánh trực quan từng cặp số liệu của hai bộ dữ liệu cùng loại. B. biểu thị tỉ lệ phần trăm của từng loại số liệu so với tổng thể. C. biểu diễn sự thay đổi số liệu của một đối tượng theo thời gian. D. biểu diễn số lượng các loại đối tượng khác nhau, tạo sự lôi cuốn, thu hút bằng hình ảnh. Câu 13. Dùng loại biểu đồ nào để biểu diễn dữ liệu trong bảng thống kê sau đây là phù hợp nhất?
4. Xếp loại học lực cuối học kì I của học sinh khối 8 Trường Trung học cơ sở Kim Đồng Loại học lực Số học sinh Tốt 37 Khá 140 Đạt 53 Chưa đạt 10 A. Biểu đồ tranh. B. Biểu đồ đoạn thẳng. C. Biểu đồ hình quạt tròn. D. Biểu đồ cột. Câu 14. Để biểu diễn sự thay đổi sĩ số của các lớp trong một khối ở cuối năm so với đầu năm học, ta nên chọn loại biểu đồ nào sau đây? A. Biểu đồ tranh. B. Biểu đồ cột. C. Biểu đồ cột kép. D. Biểu đồ đoạn thẳng. Câu 15. Quan sát biểu đồ sau: Tỉ lệ phần trăm sản lượng gạo của Việt Nam xuất khẩu sang các nước liên minh Châu Âu trong 6 tháng đầu năm 2022 17% Italy 5% Đức 39% Hà Lan 7% Thụy Điển Ba Lan 13% Khác 19% Sản lượng gạo xuất khẩu của Việt Nam sang Italy gấp mấy lần sản lượng gạo xuất khẩu của Việt Nam sang Ba Lan? A. 7,8 lần. B. 7 lần. C. 8,7 lần. D. 8 lần. Câu 16. Quan sát biểu đồ sau:
5. a) Gọi A là biến cố “Trong một ngày có từ 3 khách trở lên đến cơ quan”. Hỏi có bao nhiêu ngày biến cố A xảy ra? b) Tính xác suất thực nghiệm của biến cố A. c) Hãy ước lượng xác suất của biến cố B: “Trong một ngày có số khách đến cơ quan là số lẻ”. Hướng dẫn giải a) Theo bảng thống kê, số ngày có từ 3 khách trở lên đến cơ quan là: 9 3 2 1 1 16 (ngày). b) Số ngày bác bảo vệ theo dõi là: 3 6 5 9 3 2 1 1 30 (ngày). 16 8 Xác suất thực nghiệm của biến cố A là: P A . 30 15 c) Theo bảng thống kê, số ngày có khách đến cơ quan là số lẻ là6 9 2 1 18 (ngày) 18 3 Xác suất thực nghiệm của biến cố B là P B 60%. 30 5 Vậy xác suất của biến cố B được ước lượng là 60%. Bài 13. Một công ty chế biến hạt điều đã thống kê các loại hạt điều thu hoạch được như bảng sau: Loại hạt điều Loại 1 Loại 2 Loại 3 Khối lượng thu hoạch được 1 450 2 230 1 860 a) Hãy tính xác suất thực nghiệm của các biến cố sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ tư): A: “Hạt điều đạt loại 1”; B: “Hạt điều đạt loại 2 và loại 3”. b) Công ty lấy ngẫu nhiêm 100 kg hạt điều chưa phân loại và tiến hành phân loại. Em hãy dự đoán xem có bao nhiêu kilôgam hạt điều loại 1? Hướng dẫn giải a) Tổng khối lượng các loại hạt điều thu hoạch được là: 1 450 2 230 1 860 5 540 (kg). 1 450 Xác suất thực nghiệm của biến cố A là P A 0,2617. 5 540
6. Tổng khối lượng hạt điều loại 2 và loại 3 là: 2 230 1 860 4 090 (kg). 4 090 Xác suất thực nghiệm của biến cố B là P B 0,7383. 5 540 b) Gọi k là số kilôgam hạt điều loại 1 trong 100 kg hạt điều sau khi phân loại. k Ta có P A 0,2617 suy ra k 0,2617 100 26,17 26 (kg). 100 Vậy có khoảng 26 kg hạt điều loại 1 trong 100 kg hạt điều sau khi phân loại. 2. Hình học Bài 14. Tìm độ dài x, y trong mỗi trường hợp sau: A M 2 x 7 M N 5 3 F E 6 y 15 B C MN // AB N P Hình 1 Hình 2 Hình 3 A M 3,5cm N x B C Hình 4 Hình 5 Hình 6 Hướng dẫn giải ⦁ Hình 1: A Ta có MB AB AM 7 2 5. 2 x Tam giác ABC có MN // AB, theo định lí Thalès ta có: 7 M N 6 AM AN 2 x 12 hay , suy ra x . MB NC 5 6 5 B C MN // AB
7. 12 Hình 1 Vậy x . 5 ⦁ Hình 2: M Ta có: EF  MN, NP  MN nên EF // NP. 5 3 F E y MP MF FP 5 15 20. 15 Tam giác MNP có EF // NP, theo định lí Thalès ta có: P ME MF 3 5 3 20 N hay , suy ra y 12. MN MP y 20 5 Hình 2 Vậy y 12. ⦁ Hình 3: Tam giác ABC có M , N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên MN là đường trung bình của tam giác. 1 1 Do đó MN BC 15 7,5 cm . 2 2 Vậy x 7,5 cm. Hình 3 ⦁ Hình 4: A Tam giác ABC có M , N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên MN là đường trung bình của tam giác. M 3,5cm N 1 Do đó MN BC. 2 x B C Suy ra x BC 2MN 2 3,5 7 cm . Hình 4 Vậy x 7 cm. ⦁ Hình 5: Xét tam giác ABC có AD là phân giác trong góc B· AC AB DB DB DC (do B· AD C· AD), nên , hay AC DC AB AC 3 DC 8,53 Do đó , suy ra DC 5,1. 5 8,5 5 Hình 5 Khi đó x BC DB DC 3 5,1 8,1.
8. ⦁ Hình 6: Xét tam giác IKJ có IL là phân giác trong góc K· IJ (do IK LK LK LJ K· IL J¶IL), nên hay IJ LJ IK IJ Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: LK LJ LK LJ KJ 12,5 . Hình 6 6,2 8,7 6,2 8,7 14,9 14,9 12,5 Suy ra LJ 8,7 7,3. 14,9 Bài 15. Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC . Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Qua I vẽ IN vuông góc với AC tại N. Lấy điểm D sao cho N là trung điểm của ID. a) Chứng minh N là trung điểm của AC và tứ giác ADCI là hình thoi. DK 1 c) Đường thẳng BN cắt cạnh DC tại K. Chứng minh . DC 3 Hướng dẫn giải a) Xét ABC có AB  AC; IN  AC nên B AB // IN. I Mà I là trung điểm của BC nên IN là đường trung bình của tam giác, do đó N là trung điểm A C N của AC. K Xét tứ giác ADCI có: N là trung điểm của D ID, AC nên ADCI là hình bình hành. Lại có IN  AC hay ID  AC nên hình bình hành ADCI là hình thoi.
9. b) Kẻ IH // BK H CD , mà I là trung điểm B của BC, nên IH là đường trung bình của I BKC. Do đó H là trung điểm của KC hay KH HC 1 A C N H Xét DIH có N là trung điểm của DI và K NK // IH (do BK // IH ) nên NK là đường D trung bình của DIH, suy ra K là trung điểm của DH hay DK KH 2 DK 1 Từ 1 và 2 suy ra DK KH HC. Do đó . DC 3 Bài 16. Cho ABC trung tuyến AD. Vẽ tia phân giác của ·ADB cắt AB tại M , tia phân giác của ·ADC cắt AC tại N. Chứng minh rằng: MB BD MB NC a) . b) . c) MN // BC. MA AD MA NA Hướng dẫn giải a) Xét ABD có DM là đường phân giác của A DA MA ·ADB nên (tính chất đường phân giác DB MB M N trong tam giác). b) Xét ACD có DN là đường phân giác của B D C DA NA ·ADC nên (tính chất đường phân giác DC NC trong tam giác). DA MA MB NC Mà (câu a) và DB DC nên . DB MB MA NA MB NC c) Xét ABC có: (câu b) nên MN // BC (định lí Thalès đảo). MA NA
10. Bài 17. Cho tam giác ABC có AB AC. Tia phân giác B· AC cắt cạnh BC tại điểm D. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Qua điểm M kẻ đường thẳng song song với đường thẳng AD cắt các đường thẳng AC, AB lần lượt tại E và K. Chứng minh rằng: AK DM a) Tam giác AEK cân. b) . c) BK EC. EC MB Hướng dẫn giải a) Vì AD // KM nên B· AD B· KM (đồng vị). K · · Vì AD // EM nên CAD CEM (đồng vị). A E Mà AD là tia phân giác của B· AC nên B· AD C· AD. Do đó B· KM C· EM , lại có C· EM ·AEK nên B D M C B· KM ·AEK hay ·AKE ·AEK. Tam giác AEK có ·AKE ·AEK nên là tam giác cân tại A. AE DM b) Xét ACD có EM // AD, theo định lí Thalès ta có . EC MC Mà AEK cân tại A nên AK AE. Lại có điểm M là trung điểm của BC nên MB MC. AK DM Do đó . EC MB DM AK c) Xét BMK có AD // KM , theo định lí Thalès ta có . BM BK AK DM AK AK Theo câu a, ta có nên , do đó EC BK. EC MB EC BK Bài 18. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC. Chứng minh rằng: AB CD a) EI //CD và IF // AB. b) EF . 2 Hướng dẫn giải
11. a) Xét ADC có E, I lần lượt là trung điểm của B AD, AC nên EI là đường trung bình của ADC. CD A Do đó EI //CD và EI . 2 F E Xét ABC có I, F lần lượt là trung điểm của I AC, BC nên IF là đường trung bình của ABC. D C AB Do đó IF // AB và IF . 2 b) Trong EIF ta có: EF EI IF (dấu "=" xảy ra khi E, I, F thẳng hàng) CD AB Mà EI ; IF (chứng minh ở câu a) 2 2 AB CD Do đó EF . 2 AB CD Vậy EF (dấu bằng xảy ra khi AB //CD). 2 Bài 19. Cho hình thang ABCD có hai đáy AB và CD. Gọi M là trung điểm của CD, E là giao điểm của MA và BD, F là giao điểm của MB và AC. a) Chứng minh rằng EF // AB. b) Đường thẳng EF cắt AD, BC lần lượt tại H và N. Chứng minh HE EF FN. c) Biết AB 7,5 cm, CD 12 cm. Tính độ dài HN. Hướng dẫn giải a) Vì ABCD là hình thang có hai đáy AB và A B CD nên AB //CD. H N Vì AB // DM (do AB //CD), nên theo hệ quả E F AE AB định lí Thalès ta có . 1 EM DM D M C Vì AB // MC (do AB //CD), nên theo hệ quả BF AB định lí Thalès ta có . 2 FM MC
12. Lại có M là trung điểm của CD nên DM MC. 3 AE BF Từ 1 , 2 và 3 ta có , theo định lí Thalès đảo ta có EF // AB. EM FM HE AE b) Xét ADM có HE // DM , theo hệ quả định lí Thalès ta có . DM AM EF AE Xét AMC có EF // MC, theo hệ quả định lí Thalès ta có . MC AM HE EF Do đó , mà DM MC nên HE EF. DM MC Chứng minh tương tự ta cũng có EF FN. Suy ra HE EF FN. 1 1 c) Vì M là trung điểm của CD nên DM MC CD 12 6 cm. 2 2 AE AB 7,5 5 AE EM Theo câu a, ta có . Suy ra . EM DM 6 4 5 4 AE EM AE EM AM Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: . 5 4 5 4 9 AE 5 Do đó . AM 9 HE AE 5 Mà theo câu b, . DM AM 9 5 5 10 Suy ra HE DM  6 cm. 9 9 3 10 Vậy HN 3HE 3 10 cm. 3 Bài 20. Cho ABC có AD là trung tuyến, trọng tâm G, đường thẳng đi qua G cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F. Từ B, C kẻ các đường song song với EF cắt AD lần lượt tại M , N. Chứng minh rằng: BE MG BE CF AB AC a) . b) 1. c) 3. AE AG AE AF AE AF Hướng dẫn giải
13. a) Xét ABM có EG // BM , theo định lí A BE MG Thalès ta có: . AE AG b) Xét DCN có BM //CN, theo định lí F G DN DC Thalès ta có: . E MD DB M Mà D là trung điểm của BC (do AD là trung B D C tuyến của tam giác) nên DC DB. N DN DC Do đó 1, nên DM DN. MD DB Suy ra GM GN GM GM MN 2GM 2MD 2GD. Lại có G là trọng tâm ABC nên AG 2GD. CF GN Xét ACN có FG //CN, theo định lí Thalès ta có: . AF AG BE CF MG GN GM GN 2GD Suy ra 1. AE AF AG AG AG 2GD AB AM c) Xét ABM có EG // BM , theo định lí Thalès ta có: . AE AG AC AN Xét ACN có FG //CN, theo định lí Thalès ta có: . AF AG AB AC AM AN AG GM AG GM MN Suy ra AE AF AG AG AG 2AG 2GM 2MD 2AG 2 GM MD 2AG 2GD AG AG AG 1 2AG 2  AG 3AG 2 3. AG AG AB AC Vậy 3. AE AF Bài 21. Cho tam giác ABC có BC 15 cm, CA 18 cm và AB 12 cm. Gọi I và G lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và trọng tâm ABC. a) Chứng minh IG // BC.
14. b) Tính độ dài đoạn thẳng IG. Hướng dẫn giải a) Gọi AD là đường phân giác góc BAC A D BC . Xét ABC có AD là đường phân giác của B· AC AB DB DC DB nên , hay . G AC DC AC AB I Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: DC DB DC DB BC 15 1 B D M C . AC AB AC AB AC AB 18 12 2 1 1 1 1 Suy ra CD AC 18 9 cm và BD AB 12 6 cm. 2 2 2 2 AI AC 18 Xét ACD, có CI là đường phân giác của ·ACD nên 2. DI CD 9 AG Mặt khác, do G là trọng tâm của ABC nên 2. GM AI AG Do đó 2, theo định lí Thalès đảo ta có IG // BC. ID GM 1 1 b) Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó MB MC BC 15 7,5 cm. 2 2 Suy ra DM BM BD 7,5 6 1,5 cm. IG AG 2 Xét ADM có IG // BC, theo hệ quả định lí Thalès ta có . DM AM 3 2 2 Suy ra IG DM 1,5 1 cm. 3 3 3. Một số bài toán thực tế liên quan đến hình học Bài 22. Vì kèo mái tôn là một trong những bộ phận không thể thiếu trong cấu tạo mái nhà lợp tôn. Nó giúp chống đỡ và giảm trọng lực của những ảnh hưởng từ các yếu tố bên ngoài tác động vào (Hình a).
15. y 2,7 m 2,8 m x Hình a Hình b Một vì kèo mái tôn được vẽ lại như Hình b. Tính độ dài x của cây chống đứng bên và độ dài y của cánh kèo. Hướng dẫn giải A y D 2,7 m E 2,8 m x B C N M P Đặt các điểm A, B, C, D, E, M , N, P như hình vẽ trên. ⦁ Xét AMC có E, P lần lượt là trung điểm của AC, MC (do EA EC,PM PC) nên EP là đường trung bình của AMC. 1 1 Do đó EP AM  2,7 1,35 m (tính chất đường trung bình của tam giác). 2 2 Hay x 1,35 m . ⦁ Ta có MB MN NB và MC MP PC Mà MN NB MP PC nên MB MC. Xét ABC có D, M lần lượt là trung điểm của AB, BC (do DB DA,MB MC) nên DM là đường trung bình của ABC. 1 Do đó DM AC (tính chất đường trung bình của tam giác). 2 Suy ra AC 2DM 2  2,8 5,6 m . Hay y 5,6 m .
16. Vậy độ dài của cây chống đứng bên và độ dài của của cánh kèo lần lượt làx 1,35 m ; y 5,6 m . Bài 23. Để đo khoảng cách giữa hai vị trí B và E ở hai bên bờ sông, bác Minh chọn ba vị trí A, F, C cùng nằm ở bên bờ sông sao cho ba điểm C, E, B thẳng hàng; ba điểm C, F, A thẳng hàng và AB // EF. Sau đó bác Minh đo được AF 50 m, FC 35 m và EC 42 m. Tính khoảng cách giữa hai vị trí B và E. Hướng dẫn giải EC CF 42 35 Xét ABC có AB // EF, theo định lí Thalès ta có , hay . EB FA BE 50 42 50 Suy ra BE 60 m. 35 Bài 24. Lúc 6 giờ sáng, bạn Hải đi xe đạp từ điểm A đến trường (tại điểm B) phải leo lên và xuống một con dốc với đỉnh dốc tại điểm C (như hình vẽ). C A 0,32 km H 0,4 km B Điểm H là một điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho CH đường là phân giác ·ACB, AH 0,32 km và BH 0,4 km. Biết bạn Hải đi xe đạp đến C lúc 6 giờ 30 phút với tốc độ trung bình lên dốc là 4 km/h. Hỏi bạn Hải đến trường lúc mấy giờ nếu tốc độ trung bình xuống dốc là 10 km/h? Hướng dẫn giải C A 0,32 km H 0,4 km B
17. Thời gian để bạn Hải đi từ A đến C là: 6 giờ 30 phút 6 giờ 30 phút 0,5 giờ. Quãng đường mà bạn Hải đi từ A đến C trong 0,5 giờ với tốc độ trung bình lên dốc 4 km/h là: AC S A C 4  0,5 2 (km). HA CA 0,32 2 Xét ACB có CH là đường phân giác của ·ACB, nên ta có: hay HB CB 0,4 CB 0,4  2 Suy ra CB 2,5 (km). 0,32 Thời gian để bạn Hải đi hết quãng đường 2,5 km với tốc độ trung bình xuống dốc 10 2,5 km/h là: 0,25 (giờ). 10 Như vậy, tổng thời gian bạn Hải đi từ A đến trường B là 0,5 0,25 0,75 (giờ) 45 (phút). Một số dạng khác Bài 25. 14 a) Tìm giá trị lớn nhất của phân thức M . x2 2x 4 11 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức N . 12 4x x2 Hướng dẫn giải 14 14 14 a) Ta có M . x2 2x 4 x2 2x 1 3 x 1 2 3 Với mọi x, ta luôn có x 1 2 0 nên x 1 2 3 0 14 14 14 Suy ra , hay M . x 1 2 3 3 3 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 1 2 0, tức là x 1. 14 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức M là tại x 1. 3 11 11 11 b) Ta có N . 12 4x x2 x2 4x 4 16 x 2 2 16
18. Với mọi x, ta luôn có x 2 2 0 nên x 2 2 16 16 11 11 11 Suy ra , hay N . x 2 2 16 16 16 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 2 2 0, tức là x 2. 11 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức N là tại x 2. 16 Bài 26. Rút gọn các phân thức sau: x3 y3 z3 3xyz a) A . x2 y2 z 2 xy yz xz x24 x20 x16 x4 1 b) B . x26 x24 x22 x2 1 Hướng dẫn giải x3 y3 z3 3xyz a) Ta có: A x2 y2 z 2 xy yz xz x y 3 3xy x y z3 3xyz x2 y2 z 2 xy yz xz x y 3 z3 3xy x y z x2 y2 z 2 xy yz xz x y z 3 3 x y z x y z 3xy x y z x2 y2 z 2 xy yz xz x y z x y z 2 3 x y z 3xy x2 y2 z 2 xy yz xz x y z x2 y2 z 2 2xy 2yz 2zx 3xz 3yz 3xy x2 y2 z 2 xy yz xz x y z x2 y2 z 2 xy yz zx x y z. x2 y2 z 2 xy yz xz x24 x20 x16 x4 1 b) Ta có: B , xét phân thức nghịch đảo của phân thức B là: x26 x24 x22 x2 1 1 x26 x24 x22 x2 1 B x24 x20 x16 x4 1
19. x26 x22 x18 x6 x2 x24 x20 x4 1 x24 x20 x16 x4 1 x2 x24 x20 x4 1 x24 x20 x4 1 x24 x20 x16 x4 1 24 20 2 x x 1 x 1 2 x 1. x24 x20 x16 x4 1 1 Vậy B . x2 1 2k 1 Bài 27. Cho a1; a2 ; a3; ; a2023; a2024 là 2024 số thực thỏa mãn ak 2 với k 2 k k 1; 2; 3; ; 2024. Tính tổng S2024 a1 a2 a3  a2024. Hướng dẫn giải 2 2k 1 2k 1 k 1 k 2 1 1 Ta có a . k 2 2 2 2 2 2 2 k k k k 1 k  k 1 k k 1 Do đó S2024 a1 a2 a3  a2024 1 1 1 1 1 1 1 1 S2024 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 3 3 4 2023 2024 1 20242 1 1 . 20242 20242 1 1 1 Bài 28. Cho x, y, z 0 thoả mãn x y z xyz và 3. x y z 1 1 1 Tính giá trị của biểu thức P . x2 y2 z 2 Hướng dẫn giải 1 1 1 Do x, y, z 0 nên từ giả thiết x y z xyz ta có: 1. xy yz zx
20. 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P 2 Xét biểu thức: 2 2 2 x y z x y z xy yz zx Khi đó P 32 2 1 9 2 7. Vậy P 7. a b c a2 b2 c2 Bài 29. Cho 1. Chứng minh rằng 0. b c c a a b b c c a a b Hướng dẫn giải a b c Với a b; b c; c a ta xét 1. 1 b c c a a b Do a b; b c; c a nên a b c 0. Khi đó ta nhân hai vế của 1 với a b c thì được: a a b c b a b c c a b c a b c b c c a a b a2 a b c b2 b a c c2 c a b Hay a b c b c c a a b a2 b2 c2 Nên a b c a b c b c c a a b a2 b2 c2 Suy ra 0. b c c a a b a2 b2 c2 Vậy 0. b c c a a b Bài 30. Biết x – y; y –z; z –x, rút gọn biểu thức sau: x2 yz y2 xz z 2 xy A . x y x z y x y z z x z y Hướng dẫn giải
21. Với x – y; y –z; z –x, ta có: x2 yz y2 xz z 2 xy A x y x z y x y z z x z y x2 yz y z y2 xz z x z 2 xy x y x y y z z x x y y z z x x y y z z x x2 y x2 z y2 z yz 2 y2 z xy2 xz 2 x2 z z 2 x z 2 y x2 y xy2 x y y z z x 0 0. x y y z z x Vậy A 0. 1 1 1 1 1 1 Bài 31. Rút gọn biểu thức B ab bc ca abc 2 2 2 . a b c a b c Hướng dẫn giải Với a, b, c 0, ta có 1 1 1 1 1 1 B ab bc ca abc 2 2 2 a b c a b c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 abc abc abc ab bc ca 2 2 2 a b c a b c a b c a b c ab bc ca bc ac ab b a c b c a c a b a b c 2 a b c . Vậy B 2 a b c . Bài 32. Cho a b c 0, hãy tính giá trị của biểu thức: a b b c c a c a b C . c a b a b b c c a
22. Hướng dẫn giải Điều kiện a, b, c 0. Với a b c 0, ta có a b c; b c a; c a b. a b b c c a c a b Ta có C c a b a b b c c a a b b c c a c a b b c c a a a b b c c a b    c ab a b c ab  b c c ab c  a M N P a b b c c a c Xét M  c a b a b c b c c a c b2 bc ac a2 1  1  a b a b a b ab c b a b a c b a c b a b a c 1  1  a b ab a b ab c a b c c c  2c 2c3 1  1 1 . a b ab ab abc 2a3 2b3 Tương tự, N 1 ; P 1 . abc abc 2c3 2a3 2b3 2 a3 b3 c3 Khi đó C M N P 1 1 1 3 . abc abc abc abc Mặt khác, do a b c 0 nên ta có a b c 3 0 Suy ra a b 3 c3 3 a b c a b c 0 a3 b3 3ab a b c3 3 a b c a b c 0 a3 b3 c3 3 a b ab ac bc c2 0 3 3 3 a b c 3 a b a b c c b c 0
23. a3 b3 c3 3 a b b c a c 0 a3 b3 c3 3 c a b 0 a3 b3 c3 3abc 0 a3 b3 c3 3abc. 2  3abc Vậy C 3 3 6 9. abc HẾT