Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Trường THCS Ba Đồn (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Trường THCS Ba Đồn (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GD&ĐT THỊ XÃ BA ĐỒN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS BA ĐỒN MÔN TOÁN LỚP 8-NĂM HỌC 2022-2023 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ RA: Câu 1 (2,0 điểm): Cho biểu thức x+1 x x − 1 x2 − x x + x − 1 P = + + với xx 0 ; 1 x x−− x x x x a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh rằng P 4 với . Câu 2 (2,0 điểm): a b c b a c a) Cho ba số abc, , 0 thỏa mãn + + = + + b c a a c b Tính giá trị của biểu thức Aabbccaabc=−−−+++( )( )( )( 232023)2022 22 xxx−+−1241 b) Giải phương trình: −+= 3.0 xxx+−−233 Câu 3 (1,5 điểm): Cho x,y là các số dương thỏa mãn điều kiện xy+ 6 . Tìm giá 68 trị nhỏ nhất của biểu thức Mxy=+++32 xy Câu 4 (3,5 điểm): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. a) Chứng minh CH.CE = CD.CA b) Kẻ EKAC⊥ tại K, kẻ DIEC⊥ tại I. Chứng minh AH // IK 1 c) Chứng minh SS EIK 4 ABC Câu 5 (1,0 điểm): Chứng minh tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 luôn là một số chính phương. Ghi chú: - Học sinh không được sử dụng tài liệu, máy tính cầm tay. - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2. PHÒNG GD&ĐT THỊ XÃ BA ĐỒN HDC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS BA ĐỒN MÔN TOÁN LỚP 8-NĂM HỌC 2022-2023 Câu Đáp án Điểm Câu xxxxxxx+−−+−111 2 a) P =++ 1 xxxxxx−− x +1 ( xxxxxx−++−+1111)( ) ( )( ) =+− 0,25 x xx( −1) xx( −1) x +1 xx++1 ( xxxx−+−+111)( )( ) =+− 0,25 x x xxx( −+11)( ) x +1 xxxx++−+ 11 =+− x xx 0,25 xxxxx++++−+−111 = x xx++21 = x 0,25 11 0,25 b) Ta có Pxx=++ += 22.24 (Theo BĐT Côsi) xx 0,25 1 Pxx= = =41(loại do x 1) 0,25 x Vậy Pxx  4 0,1. 0,25 abcbac Câu a) Với abc,,0 , ta có ++=++ 2 bcaacb a c a c b b − − + + − = 0 0,25 b b c a c a ac− (a+−− c)( a cb) a( c ) −+= 0 bacac 1 a+ cb 0,25 −−+=(ac) 0 bacac −−−+=(a c)( ac ab bc b2 ) 0 −−−=(a c)( c b)( a b) 0 −−−=(a b)( b c)( c a) 0 0,25 A=( a −−−+ b)( b c ++)( c a)( a2 b 32023 c)2022 0,25 = 0 + 2023 = 2023 22 x−1 2 x + 4 x − 1 b) − +3. = 0 ĐKXĐ: xx −2; 3 x+2 x − 3 x − 3 22 x−1 x + 2 x − 1 −4. + 3. = 0 (1) x+2 x − 3 x − 3
3. xx−+12x −1 Đặt ab==; =ab xx+−23x − 3 0,25 Phương trình (1) trở thành abb22−+=43a0 −+−=abbb222 3a30 −+=(abab)( 40) ab= 0,25 ab=−4 xx−+12 + Trường hợp ab= = xx+−23 2 ( x −1)( x − 3) =( x + 2) 8x + 1 = 0 1 x = − ( TM ) 8 x −1 −+42( x ) 0,25 + Trường hợp ab= −4 = xx+−23 −−=( xxx −+1342)( ) ( )2 ++=512190xx2 2 659 ++=50 xPTVN () 55 1 Vậy phưởng trình đã cho có một nghiệm x =− 8 0,25 68 Câu M=32 x + y + + 3 xy 681216 2Mxyxyxy2 3233 xyxy 0,25 Từ giả thiết và theo BĐT Cô – si, ta có: 33.618xy 1212 323.12xx 0,25 xx 1616 yy2.8 yy Do đó, 2181283819MM 0,5 Vậy minM = 19. Dấu “=” xảy ra khi x = 2; y = 4. 0,5
4. Câu 0,5 4 A K D E H I B C ECAchung 0,25 a) Xét CHD và CAE có 0 CDHCEA 90 0,25 C H D đồng dạng với C A E g( .g ) CHCD 0,25 CH CECDCA CACE 0,25 b) Xét CID và CKE có: CIDCKE 900 I C D chung 0,25 CID đồng dạng với C K E (g-g) CICD CDCH (1) mà (c/m a) (2) 0,25 CKCE CECA CICHCICK Từ (1), (2) 0,25 CKCACHCA CI CK Xét CAH có: (cmt) IKAH// ( ĐL Ta-lét đảo) 0,25 CH CA c) Có IK // AH (cm b) KIE AHE (đồng vị) Mà ABCAHE (cùng phụ với E A H ) ABCKIE + Xét EIK và ABC có: KIEABC (cmt) 0,25 IEK BAC (cùng phụ với ACE ) EIK đồng dạng với ABC (g-g) 2 S 2 EIK EKEK 0,25 2 SACABC AC + AEC vuông tại E, đường cao EK EK2 AK. CK (hệ thức 0,25 lượng) 2 S AK. CK 4 AK . CKAK CK AC 2 1 EIK 0,25 2 2 2 2 S ABC AC4 AC 4 AC 4 AC 4 Dấu “=” xảy ra AK CK .
5. Câu Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là: nnnnnN,1,2,3.+++ ( ) 0,25 5 Ta có : nnnn( 1++++ 2) ( 3 1 )( ) = n .( n + 3( n + 1)( n + 2) + 1 = (n22 + 3 n)( n + 3 n + 2) + 1 ( *) 0,25 Đặt nnttN2 += 3() thì (*)(2)121(1).=++=++=+ttttt 22 2 0,25 ++++=++nnnnnn( 1 2) (3 )( ) 1 31 ( 2 ) . Vì nN nên n n2 N+ +3 1 . 0,25 Vậy nnnn( 1++++ 2) ( 3 1 )( ) là số chính phương.