Kỳ thi Olympic Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Thanh Oai (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Kỳ thi Olympic Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Thanh Oai (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GDĐT THANH OAI KỲ THI OLYMPIC LỚP 6, 7, 8 Năm học 2022 - 2023 Môn: Toán – Lớp: 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 12 tháng 4 năm 2022 Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm 02 trang) PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (5 điểm): Chọn 01 đáp án đúng nhất cho mỗi câu hỏi. 2 2 2022 2023 1. Cho x 3 y 2 0.Tính x y x y được kết quả là: A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 2. Giá trị biểu thức x4 1001 x 3 1001 x 2 1001 x 1001 tại x 1000 bằng: A. 1000000000. B. 1000. C. 0. D. 1. 3. Cho x2 y 2 26 và xy 5 , giá trị của ()x y 2 là: A. 4 B. 16 C. 21 D. 36. 4. Một xí nghiệp dự định sản xuất 2000 sản phẩm trong 40 ngày. Nhưng nhờ tổ chức hợp lý nên thực tế xí nghiệp đã sản xuất mỗi ngày vượt mức 10 sản phẩm. Do đó xí nghiệp sản xuất không những vượt mức dự định 100 sản phẩm mà còn hoàn thành trước thời hạn. Xí nghiệp đã rút ngắn được số ngày hoàn thành công việc là: A. 20 ngày. B. 15 ngày. C. 10 ngày. D. 5 ngày. 5. Cho tam giác cân ABC có AM là đường trung tuyến, biết AB = 15 cm, BC = 18 cm. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Diện tích tứ giác ABCD là: A. 108 cm2 . B. 216 cm2 . C. 270 cm2 . D. 66 cm2 . 6. Cho biểu thức C x()()() y z y z x z x y . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau : A. Giá trị biểu thức C không phụ thuộc vào x, y, z. B. Giá trị biểu thức C phụ thuộc vào cả x, y và z C. Giá trị biểu thức C chỉ phụ thuộc vào y. D. Giá trị biểu thức C chỉ phụ thuộc vào x. 7. Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Đáp án nào đúng ? AB CD AB BC CD DA A. MN B. MN 2 4 AB CD AB CD C. MN D. MN 2 2 8. Số nghiệm của phương trình: x3 3 x 2 0 là mấy ? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. Phương trình x3 3 x 2 4 0 có tập nghiệm S là:
2. A. S 1 B. S 1;2; 2 C. S 2; 2 D. S 1;2 10. Tính độ dài của một chiếc hộp hình lập phương, biết rằng độ dài mỗi cạnh của hộp tăng thêm 2 cm thì diện tích phải sơn 6 mặt bên ngoài của hộp đó tăng thêm 216 cm2 A. 4 cm B. 8 cm C. 6 cm D. 5 cm PHẦN II. TỰ LUẬN (15 điểm) Câu 1. (6 điểm) 2a3 2 a 2 2 a 3 a 3 4 a 1. Cho biểu thức M 3 : 2 a 1 a 1 4 a 4a a) Tìm điều kiện xác định và chứng minh M = a2 4 b) Tìm a để M 0 c) Tìm giá trị của a để biểu thức M đạt giá trị lớn nhất. 2. Tìm a, b sao cho f( x ) ax3 bx 2 10 x 4 chia hết cho đa thức g( x ) x2 3 x 2 Câu 2. (3 điểm) 1. Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn: x2 8 y 2 4 xy 2 x 4 y 4 . a b c b a c 2. Cho ba số a, b , c 0 thỏa mãn: . Tính giá trị của biểu thức b c a a c b sau: P a b b c c a a 2 b 3 c 2022 2023 Câu 3. (5 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE AF . Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N 1) Chứng minh DM = AF và tứ giác AEMD là hình chữ nhật 2) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh rằng CBH AEH và AC 2 EF 1 1 1 3) Chứng minh rằng : AD2 AM 2 AN 2 Câu 4. (1 điểm) Cho số tự nhiên n > 3. Chứng minh rằng nếu 2n = 10a + b (a, b N , 0 < b < 10) thì tích ab chia hết cho 6 - Hết - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Học sinh không sử dụng tài liệu. Họ và tên: . Số báo danh: Học sinh Trường THCS:
3. HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 8 PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (5đ) Mỗi câu trả lời đúng x 0,5đ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D B D B A C C D B PHẦN II. TỰ LUẬN (15đ) Câ Nội dung Điểm u a) Điều kiện: a 0; a 1 0,5 2a3 2 a 2 2 a 3 a 3 4 a Ta có: M : 3 2 a 1 a 1 4 a a3 1 4 a 4 a 1 3. 2 2 a 1 a 4 a 4 b) M 0 4 a 0 a 0 1,5 Kết hợp với điều kiện suy ra M 0khi a 0 và a 1 1 2 2 2 4a a 4 a 4 a 4 a 2 c) Ta có: M 1 a2 4 a 2 4 a 2 4 0,25 a 2 2 a 2 2 Vì 0 với mọi a nên 1 1với mọi a a2 4 a2 4 0,25 4 a 2 2 0,25 Dấu "" xảy ra khi 2 0 a 2 a 4 Vậy Max 1khi a 2. M 0,25 1.2 *g ( x ) x2 3 x 2 x 1 x 2 0,5 *f ( x ) ax3 bx 2 10 x 4 g ( x ) 0,5 f( x ) ax3 bx 2 10 x 4 x 1 x 2 Q x (1)  x 2 Thay x 1; x 2 vào 1 ta có: 1 2 a b 6 0 và 8a 4 b 16 0 a 2và b 8 1 3 2 a 2 Vậy f x ax bx 10 x 4 g x b 8 x2 8 y 2 4 xy 2 x 4 y 4 x 2 y 1 2 4 y 2 5 0,75 Do 44;y2 x 2 y 1 2 0;4 y 2 0  x ,; y x 2 y 1,4 2 y 2 2.1 2 2 4y 4 là số chính phương nên 2 x 2 y 1 1
4. y 1 0,5 y 1 y 1 x 0 + TH1: 2 2 (t/m) x 2 y 1 1 x 1 1 x 2 +) TH2: 0,5 y 1 y 1 y 1 x 4 2 2 (t/m) x 2 y 1 1 x 3 1 x 2 Vậy các cặp số nguyên x; y 0;1 ; 2;1 ; 2; 1 ; 4; 1  0,25 Với a, b , c 0 , ta có: 0,25 a b c b a c b c a a c b a b c b a c a c a2 c 2 b a c 0 0 bcaacb b ac ac 1 a c b 2 0,25 2.2 a c 0 ( a c ) ac ab bc b 0 1 b ac ac a c a c b b c b 0 a c c b a b 0 0,25 P a b b c c a a 2 b 3 c 2022 2023 0,25 0 2023 2023 3 A E B H F 5 D M C N
5. 1) Ta có: DAM ABF (cùng phụ với BAH ) AB AD( gt ); BAF ADM 900 (ABCD là hình vuông) ADM BAF g c g 1,5 DM AF,mà AF AE() gt nên AE DM Lại có: AE// DM (vì AB//) DC Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành . 1,5 Mặt khác DAE 900 ( gt ) Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật 2) Ta có ABH FAH(.) g g AB BH BC BH hay AB BC; AE AF AF AH AE AH Lại có: HAB HBC (cùng phụ với ABH) 0,5 CBH AEH( ) c g c 2 SCBH BC ,mà S AE EAH 2 SCBH BC 2 2 4(gt ) 4 BC 2 AE SEAH AE BC 2 AE E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD 0,5 Do đó: BD 2 EF hay AC 2 EF ( dfcm ) 3) Do AD/ / CN ( gt ).Áp dụng hệ quả định lý Ta let ta có: AD AM AD CN 0,25 CN MN AM MN Lại có: MC//. AB gt Áp dụng hệ quả định lý Ta let ta có: MN MC AB MC AD MC hay 0,25 AN AB AN MN AN MN 2 2 2 2 AD AD CN CM AM AN MN MN CN2 CM 2 MN 2 0,25 1 MN2 MN 2 ()Pytago 2 2 AD AD 1 1 1 1 2 2 2 (dfcm ) 0,25 AM AN AM AN AD 5 Ta có 2n = 10a + b nên b  2 suy ra ab  2 (1) 0,25 Ta chứng minh ab  3 (2) 1 Thật vậy, từ đẳng thức 2n = 10a + b suy ra 2n có chữ số tận cùng là
6. b. Đặt n = 4k + r (k, r thuộc N, 0 r 3) ta có: 2n = 16k2r. Nếu r = 0 thì 2n = 16k tận cùng là 6 suy ra b = 6 nên ab 6. 0,25 Nếu 1 r 3 thì 2n - 2r = 2r(16k - 1)  10 suy ra 2n tận cùng là 2r suy ra b = 2r dẫn đến 10a = 2n - 2r = 2r(16k - 1)  3 suy ra a  3 nên 0,25 ab  3. Từ (1) và (2) suy ra ab  6 0,25 (Học sinh có cách giải khác, đúng vẫn cho điểm tối đa).